正六百胞体

几何学中,正六百胞体()是四维凸正多胞体施莱夫利符号是{3,3,5},有時候会视为正二十面体的四维类比。

正六百胞体
(600-胞)
4-体
類型正多胞体
家族類五邊形形正二十面体
600 (3.3.3)
1200 {3}
720
頂點120
顶点图
(3.3.3.3.3)
施萊夫利符號{3,3,5}
考克斯特記號
對稱群H4, [3,3,5]
對偶多胞體正一百二十胞体
特性凸多胞形, isogonal, isotoxal, isohedral
二维线架正投射

正六百胞体的边界有600个正四面体胞、1200个正三角形面、720条边和120个顶点。每一顶点有20个正四面体相接。

几何性质

正六百胞体的对偶多胞体正一百二十胞体。 正六百胞体的顶点形正二十面体
边长为a的正六百胞体超体积为,表体积为50√2a3

以原点为中心,边长为 1/φ 的正六百胞体(其中φ = (1+√5)/2是黃金比例),頂点坐标如下:16个顶点形式如下

(±½,±½,±½,±½),

8个顶点从下列坐标不同排列得出

(0,0,0,±1),

剩下96个顶点是下列坐标的偶置换

½(±1,±φ,±1/φ,0)。

如果一个正六百胞体的棱长为1,则其外接超球半径为黄金分割比;其外中交超球(经过正六百胞体每条棱的中点)半径为 ;其内中交超球(经过正六百胞体每个面的中心)半径为 ;其内切超球半径为

注意到首16个顶点构成超正方体,次8个构成正十六胞体。这24个顶点一起构成正二十四胞体,事实上,如果移除这24个顶点,就会得到另一个有意思的半正多胞体扭棱正二十四胞体(Snub Icositetrachoron)。

对称群构造

如果把坐标看作四元数,正六百胞体的120个顶点以四元数乘法组成。这个群通常称为双二十面体群,因為它是二十面体群I的双重覆蓋。这个双十二面体群也可被看作是正六百胞体的旋转(无反射)对称群,因为单位四元数的乘法等同于点的旋转,也因此双十二面体群是H4群的一个子群。双二十面体群同构特殊线性群SL(2,5)。

正六百胞体的对称群H4外尔群,这个群的阶是14400。

可视化

正六百胞体的胞众多,并且这些正四面体胞基本上没有什么规律可循,为正六百胞体的可视化带来了许多困难,但作为正一百二十胞体对偶,许多正一百二十胞体的性质也表现在正六百胞体上。

大圆结构

正一百二十胞体的10个会首尾相连,构成“大圆”,这些胞与正六百胞体的顶点对偶,它们也会互相连接形成一个正十边形,这正十边形的每一条边周围都有5个正四面体共这条边,这种结构看上去就像有棱有角的飞盘。正十边形相邻的两条棱周围的两簇正四面体中间会有空隙,我们可以在填入10个正四面体使其构成正二十面体,这样你就会得到一个涉及150个胞、10条棱、100个裸露的正三角形面的环形结构,我们还可以在向这些面上填上正四面体,会得到一个涉及250个胞的有50个突出的顶点和100条凹陷的棱的大圆,它与另一条与之正交的250胞环在顶点处咬合,剩余的棱的空隙是剩余的100个胞。现在,如果我们去掉这两条大圆最初的10个顶点,我们就会得到四维唯一的非Wythoff凸半正多胞体——重反棱柱,原来的大圆处留下了各10个正五反棱柱,并剩下了300个正四面体胞。

参考

四维正多胞体
正五胞体超正方体正十六胞体正二十四胞体正一百二十胞体正六百胞体
{3,3,3}{4,3,3}{3,3,4}{3,4,3}{5,3,3}{3,3,5}
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