正圖形

正多胞形是一種對稱性对于標記可递的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫j維面（對所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤ n维的正圖形。

正图形是正多边形（例如：正方形或者正五边形[1] ）和正多面体（例如立方体）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。

一般地，n维正图形被定义为有正维面[(n − 1)-表面]和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于抽象多胞形。

一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表，其正的面为{a, b, c, ..., y}，顶点图为{b, c, ..., y, z}。

正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度：

• 单纯形（正单形）
• 超方形（正测形）
• 正轴形（交叉形）

在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。

正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

正单纯形

1-正单纯形 到 4-正单纯形 的图像

线段	正三角形	正四面体	正五胞体

主条目：单纯形

我们从点A开始。标下与A相距r的点B，并连接它们，形成线段。在垂直与它的第二维度标下与A、B都相距r的第三点C，并连接AC、BC，形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距r的第四点D，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是正单纯形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正三角形（正三边形）

3. 正四面体

4. 正五胞体 或 4-单纯形

5. 五维正六胞体 或 5-单纯形

... n-单纯形有n+1个顶点。

超方形

2-超方形 到 4-超方形 的图像

正方形	立方体	超正方体

主条目：超方形

从一个点A开始。连一条线到距离为r的B，形成一条线段。延伸第二条长为r的线，垂直于AB，将B连接到C，同样链接A到D，形成一个正方形ABCD。从每个顶点同样延伸出长为r的线，同时垂直于AB和BC，标记点E、F、G、H形成立方体ABCD-EFGH。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是超方形或称正测形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正方形（正四边形）

3. 立方体（正六面体）

4. 四维超正方体（正八胞体）或4-超方体

5. 五维超正方体（五維正十胞体）或5-超方体

...一个n-超方体有2ⁿ个顶点。

正轴形

2-正轴形 到 4-正轴形 的图像

正方形	正八面体	正十六胞体

主条目：正轴形

从一个点O开始。从O向两个相反的方向延出两条线到距O点距离为r的A和B，互相之间距离为2r，形成一条线段。同样再画线段COD，长度为2r，以O为中点而垂直于AB。连接4个顶点形成正方形ACBD。再画线段EOF，同样长度为2r，中点为O，同时垂直于AB和CD（即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为正轴形或交叉形。以维度来排序，它们是：

0. 点

1. 线段

2. 正方形（正四边形）

3. 正八面体

4. 正十六胞体或4-正轴形

5. 正三十二超胞体（五维正三十二胞体）或5-正轴形

...n-正轴形有2n个顶点。

• 正圖形列表
• 詹森多面體
• Bartel Leendert van der Waerden

1. (PDF). mommycrusader.com. [2019-04-13]. （原始内容 (PDF)存档于2019-04-13）.

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• Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
• Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron