因次分析

早在十七世紀，艾薩克·牛頓就已經提出量綱分析的基本原理，現在知名為「牛頓相似性原理」[1][2]。在建立量綱分析的現代用法上，詹姆斯·馬克士威也扮演了重要的角色，他區分質量、長度、時間的計量單位為「基礎單位」，又將其它單位分類為「衍生單位」[3]。十九世紀法國數學家約瑟夫·傅立葉也做出巨大貢獻。他表明，類似牛頓第二定律${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$的物理定律，其方程式應該與計量物理量的單位無關[4]。這引致出重要結論：有意義的定律，對於其方程式的每一個計量單位，這方程式都必需是齊次方程式。這結果最終形式化成為白金漢π定理（）。假設一個有物理意義的方程式具有${\displaystyle n}$個變數與${\displaystyle m}$個基礎量綱，白金漢π定理描述怎樣將這方程式等價地重寫為具有${\displaystyle n-m}$個無量綱參數的方程式。更重要的是，從設定的變數，這定理給出了一種能夠計算這些無量綱參數的方法。

通過無量綱化（）技法，一個具有量綱的方程式可以降低或消除其量綱。這技法首先使用量綱分析，這技法使用系統的基礎單位或大自然的自然單位來按比例改變物理量的數值。這技法可以使得物理學者更了解系統的基礎性質。稍後，會有更詳細說明。

力可以透過艾薩克·牛頓著名的公式

${\displaystyle F=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=m{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}$

做因次分析，[M]代表質量因次，[L]代表長度因次，[T]代表時間因次，則為：

${\displaystyle [F]=[M][L][T^{-2}]\,}$

相應地，力的國際單位牛頓（N）的定義是：

${\displaystyle N=kg\cdot {\frac {m}{s^{2}}}}$，即公斤（kg）·米（m）·秒（s）負二次方。

若力沿著一定路徑作功：

${\displaystyle W=\int _{x_{0}}^{x_{1}}Fdx}$

可以看出因次上：

${\displaystyle [W]=[F][L]=[M][L^{2}][T^{-2}]\,}$

另外，非相對論（即古典力學裡）動能的定義：

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}}$

其因次為：

${\displaystyle [E_{k}]=[M]([L][T^{-1}])^{2}=[M][L^{2}][T^{-2}]\,}$

因次和功相同。這也和功能定理相應。

透過因次分析可以對物理推導過程進行檢驗，確認前後是否一致無誤。

此外，一些物理學上的演繹是透過因次分析而生的，例如普朗克長度、普朗克時間與普朗克質量。它們的出現最先是透過將普朗克常數、光速、重力常數三項常數組合出長度因次、時間因次、質量因次而衍生得到它們應該具有的數值。

• 阿草的葫蘆--文化活動中的數學页面存档备份，存于