對稱多項式

將對稱多項式做相乘或取次方會使表達式變得複雜。有一個相對簡單的構造方式是考慮一個單項式，並且任意交換它的變數，將取得的所有可能的變體通通加起來得到一個對稱多項式，稱為單項對稱多項式。因此單項對稱多項式是對稱多項式的基底，適當地將它做相加可得到所有對稱多項式。更準確地的定義如下：一個以 X₁, …, X_n 為變數的單項式可以寫作 X₁^α₁…X_n^α_n ，其中次方 α_i 可以是正整數或 0。為了表達方便，定義 α = (α₁,…,α_n) 則以上的單項式可以被縮寫成 X^α。而單項對稱多項式m_α(X₁, …, X_n) 定義為所有 x^β 的總和，其中 β 跑遍所有 α = (α₁,…,α_n) 的「相異」置換。 舉例來說

${\displaystyle m_{(3,1,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{3}^{3}}$,

${\displaystyle m_{(3,2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})=X_{1}^{3}X_{2}^{2}X_{3}+X_{1}^{3}X_{2}X_{3}^{2}+X_{1}^{2}X_{2}^{3}X_{3}+X_{1}^{2}X_{2}X_{3}^{3}+X_{1}X_{2}^{3}X_{3}^{2}+X_{1}X_{2}^{2}X_{3}^{3}.}$

顯然如果 β 是 α 的一個置換，則 m_α = m_β，因此一般而言只需考慮 m_α 滿足 α₁ ≥ α₂ ≥ … ≥ α_n，換言之，只需考慮 α 是整數分拆的情況。給定任何對稱多項式 P，都可以將其中不同類型的單項式分離歸類，因而將 P 寫成單項對稱多項式的線性組合，是故，單項對稱多項式形成包含所有對稱多項式的空間的一個基底。特別的，如果 P 中的係數都是正整數，則線性組合中的係數也都會是正整數。

基本對稱多項式是單項對稱多項式的特例，因為對任何 0 ≤ k ≤ n 有

${\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=m_{\alpha }(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

其中 α 將正整數 k 分拆成 k 個 1（後面接著 n − k 個 0）。

對於正整數 k，單項對稱多項式 m_(k,0,…,0)(X₁, …, X_n) 是具有特殊意義的，它被稱做次方和對稱多項式。更具體的來說，定義

${\displaystyle p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}.}$

事實上，所有擁有 n 個變數的對稱多項式都可以藉由一些次方和對稱多項式做相加、相乘及乘以有理數係數的運算而得到，而且可以使其中所使用到的次方和對稱多項式的次方數最高不超過 n。更精確的來說，

任何以 X₁, …, X_n 為變數的對稱多項式都可以被表示成一個 n 個變數多的項式，其中各變數代入次方和多項式 p₁(X₁, …, X_n), …, p_n(X₁, …, X_n)

特別的，其他次數 k > n 的次方和多項式 p_k(X₁, …, X_n) 也可以用前 n 個對稱多項式表示，例如

${\displaystyle p_{3}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {3}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2})-{\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}.}$

與單項對稱多項式以及完全齊次對稱多項式不同的是，一個整 係數的對稱多項式可能無法被表示成 n 個變數的整 係數多項式，其中各變數代入次方和多項式 p₁(X₁, …, X_n), …, p_n(X₁, …, X_n)。例如對 n = 2，對稱多項式

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}}$

只能被表達成

${\displaystyle m_{(2,1)}(X_{1},X_{2})=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}(X_{1},X_{2})^{3}-{\frac {1}{2}}p_{2}(X_{1},X_{2})p_{1}(X_{1},X_{2}).}$

然而，如果有 3 個變數的話，情況又變得不同

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\\&=p_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})p_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})-p_{3}(X_{1},X_{2},X_{3}).\end{aligned}}}$

如果將上式的 X₃ 代入 0，也可以得到一個 2 個變數情況的表示式，然而該表示式中包含多項式 p₃，因此不適用於 2 變數的敘述條件。從上述例子可以看出，不同的變數個數可能會影響到同一個單項對稱多項式是否能被次方和對稱多項式以整係數的代數組合表達。然而，對於 n ≥ 2，基本對稱多項式 e_n 都不能表達成次方和對稱多項式的整係數代數組合表達(注意到 n = 1 時 e₁ = p₁)。藉由牛頓恆等式可以很容易推得上述結論，並且會有其中若干個係數的分母是 n。因為這個緣故，前述的結論只在任何包含有理數的環中成立，在有限特徵的環中不成立。

以下用a表示对称多项式，s表示等幂和：

${\displaystyle \prod _{r=1}^{n}(x-x_{r})=\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}=0,s_{m}=\sum _{r=1}^{n}x_{r}^{m}}$

${\displaystyle s_{m}+a_{1}s_{m-1}+a_{2}s_{m-2}+...+a_{m-1}s_{1}+ma_{m}=0}$[1]

证明如下：

${\displaystyle \displaystyle (\sum _{i=1}^{n}k_{i}x_{i}^{r})\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s-r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{s-r}}=\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s-r}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{r+1}x_{i_{2}}...x_{i_{s-r}}+\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s-r}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{r}x_{i_{2}}...x_{i_{s-r+1}}}$

${\displaystyle \displaystyle \sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s-1}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{2}x_{i_{2}}...x_{i_{s-1}}+\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{1}x_{i_{2}}...x_{i_{s}}-\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s-2}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{3}x_{i_{2}}...x_{i_{s-2}}-\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s-1}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{2}x_{i_{2}}...x_{i_{s-1}}+...}$

${\displaystyle \displaystyle (-1)^{s-1}\sum _{i_{1}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{s}+\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s}}k_{i_{1}}x_{i_{1}}^{1}x_{i_{2}}...x_{i_{s}}=\sum _{r=1}^{s-1}(-1)^{r}(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x_{i}^{r})\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq ...\neq i_{s-r}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{s-r}}}$

两项时使等幂和分解为积与和的组合，如${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}$：

${\displaystyle x_{1}^{m}+x_{2}^{m}=\sum _{r=0}^{\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }{\frac {mC_{m-r}^{r}}{m-r}}(x_{1}+x_{2})^{m-2r}(-x_{1}x_{2})^{r}}$

用数学归纳法可证明高维的形式：

${\displaystyle s_{m}=\sum _{r_{i}=0}^{\lfloor {\frac {m}{i}}\rfloor }{\frac {m(r_{1}+r_{2}+...+r_{n}-1)!}{r_{1}!r_{2}!...r_{n}!}}\prod _{i=1}^{n}(-a_{n-i})^{r_{i}}}$

${\displaystyle f(m,r_{1},...,r_{n})=f(m-1,r_{1}-1,...,r_{n})+...+f(m-n,r_{1},...,r_{n}-1)}$

${\displaystyle {\frac {(m-1)(r_{1}+...+r_{n}-2)!}{(r_{1}-1)!...r_{n}!}}+...+{\frac {(m-n)(r_{1}+...+r_{n}-2)!}{r_{1}!...(r_{n}-1)!}}={\frac {[r_{1}(m-1)+...+r_{n}(m-n)](r_{1}+...+r_{n}-2)!}{r_{1}!...r_{n}!}}}$

${\displaystyle ={\frac {[m(r_{1}+...+r_{n})-m](r_{1}+...+r_{n}-2)!}{r_{1}!...r_{n}!}}={\frac {m(r_{1}+...+r_{n}-1)!}{r_{1}!...r_{n}!}}}$

取${\displaystyle m=n=3}$

${\displaystyle \displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}={\frac {3(3-1)!}{3!}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}+{\frac {3(1+1-1)!}{1!1!}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})(-x_{1}x_{2}-x_{1}x_{3}-x_{2}x_{3})+{\frac {3(1-1)!}{1!}}(x_{1}x_{2}x_{3})}$

${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}-3(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})+3(x_{1}x_{2}x_{3})}$

也可以把对称多项式表达成等幂和：

${\displaystyle a_{n-m}=\sum _{r_{i}=0}^{\lfloor {\frac {m}{i}}\rfloor }\prod _{i=1}^{m}{\frac {(-s_{i})^{r_{i}}}{i^{r_{i}}r_{i}!}}}$

${\displaystyle mf(r_{1},...,r_{m})=f(r_{1}-1,...,r_{m})+...+f(r_{1},...,r_{m}-1)}$

${\displaystyle r_{1}\prod _{i=1}^{m}{\frac {1}{i^{r_{i}}r_{i}!}}+...+mr_{m}\prod _{i=1}^{m}{\frac {1}{i^{r_{i}}r_{i}!}}=m\prod _{i=1}^{m}{\frac {1}{i^{r_{i}}r_{i}!}}}$

取${\displaystyle m=n=3}$

${\displaystyle \displaystyle -x_{1}x_{2}x_{3}={\frac {1}{1^{3}3!}}(-x_{1}-x_{2}-x_{3})^{3}+{\frac {1}{1^{1}1!2^{1}1!}}(-x_{1}-x_{2}-x_{3})(-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2})+{\frac {1}{3^{1}1!}}(-x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-x_{3}^{3})}$

${\displaystyle \displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}={\frac {1}{6}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}-{\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})+{\frac {1}{3}}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})}$