伽羅瓦理論

考虑如下的一元二次方程：

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0}$

应用一元二次方程的求根公式，我们可以求出它的两个根为

${\displaystyle A=2+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle B=2-{\sqrt {3}}}$

A和B满足的代数方程例如：

${\displaystyle {\begin{cases}A+B=4\\AB=1\end{cases}}}$

显然在这些方程中，如果我们交换A和B，我们同样能得到真命题。例如，方程A + B = 4简单的变成了B + A = 4。进一步的，这对于A和B满足的所有可能的代数方程都成立。证明这个结论需要对称多项式的理论。

我们可以总结出，多项式x² − 4x + 1的伽罗瓦群由两个置换构成：保持A和B不变的恒同变换，以及交换A与B位置的对换。它是一个二阶循环群，因此同构于Z/2Z。

这里会有人产生疑问：A和B同样满足另一个代数方程${\displaystyle A-B-2{\sqrt {3}}=0}$，但交换A和B时这个方程并不能保持不变。其实这并不是个问题，因为它不是有理系数方程：${\displaystyle {\sqrt {3}}}$是一个无理数。

类似地可以讨论任意二次多项式ax² + bx + c,其中a, b和c都是有理数。

• 如果多项式只有一个根，例如x² − 4x + 4 =(x−2)²,那么伽罗瓦群是平凡的；也就是说，它只包括恒同变换。
• 如果多项式有两个不同的有理根，例如x² − 3x + 2 =(x−2)(x−1)，伽罗瓦群同样是平凡的。
• 如果多项式有两个无理根（包括根是复数的情况），那么伽罗瓦群包括上面例子中所描述的两个置换。

考虑多项式

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1}$

也可以写成

${\displaystyle (x^{2}-5)^{2}-24}$

我们同样希望在有理数域上描述这个多项式的伽罗瓦群。这个多项式有四个根：

${\displaystyle A={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle B={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle C=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle D=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$

这四个根有24种可能的排列，但这些排列并不都是伽罗瓦群的元素。伽罗瓦群的元素必须保持所有A, B, C和D满足的有理系数代数方程。这样的方程例如：

A + D = 0.

因此置换

(A, B, C, D)→(A, B, D, C)

是不允许的，因为它把真等式A + D = 0变成了假等式A + C = 0，因为A + C = 2√3 ≠ 0.

这些根满足的另一个等式为：

(A + B)² = 8.

这也会去掉一些置换，例如：

(A, B, C, D)→(A, C, B, D)。

如此继续下去，我们可以求出满足所有等式的置换只有：

(A, B, C, D)→(A, B, C, D)

(A, B, C, D)→(C, D, A, B)

(A, B, C, D)→(B, A, D, C)

(A, B, C, D)→(D, C, B, A),

因此伽罗瓦群同构于克莱因四元群。

考慮整係數多項式${\displaystyle f(x)=x^{5}-x-1}$。根據一次因式檢驗法，${\displaystyle f(x)}$無有理根。由整係數之故，模任意素數${\displaystyle p}$後可視之為有限域上的多項式${\displaystyle {\bar {f}}_{p}}$，相應的伽羅瓦群記為${\displaystyle {\bar {G}}_{p}}$。取${\displaystyle p=2,3}$，易見${\displaystyle {\bar {f}}_{p}}$在${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$上無一次因式。

${\displaystyle {\bar {f}}_{2}}$可分解為${\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)}$，故${\displaystyle {\bar {G}}_{2}}$為六階循環群。

${\displaystyle {\bar {f}}_{3}}$無二次因子，故${\displaystyle {\bar {G}}_{3}}$為五階循環群。

注意到${\displaystyle {\bar {G}}_{p}}$是${\displaystyle f(x)}$的伽羅瓦群的子商。${\displaystyle S_{5}}$的子群若含有六階及五階元素，則該子群生成${\displaystyle S_{5}}$。於是${\displaystyle f(x)}$的伽羅瓦群為${\displaystyle S_{5}}$，故無根式解。