希尔伯特-施密特算子

数学中,一个希尔伯特-施密特算子(英語:)(得名于大卫·希尔伯特埃哈德·施密特), 是希尔伯特空间H上的有界算子A,有有限的希尔伯特-施密特范数

其中H上的范数,H上的一组标准正交基Tr是非负自伴算子的[1][2]这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择,所以有

其中p = 2时的Schatten范数。在欧几里得空间中,也被称为弗罗贝尼乌斯范数,得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。

两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数;因此,如果AB是两个希尔伯特-施密特算子,希尔伯特-施密特内积可以如下定义

希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子Banach代数的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间,可以证明自然等距同构到希尔伯特空间的张量积

其中H是H对偶空间

希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集,当且仅当H是有限维空间。

一类重要的例子是希尔伯特-施密特积分算子

希尔伯特-施密特算子是二阶核型算子,因此是紧的。

另请参阅

  • 弗羅貝尼烏斯內積

参考文献

  1. Moslehian, M.S. .
  2. Voitsekhovskii, M.I., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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