算子
算子(英語:)是将一个元素在向量空间(或模)中转换为另一个元素的映射。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要,它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如,在经典力学中,导数的使用无处不在,而在量子力学中,可观察量由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括线性、连续性和有界性等的重要性质。
定义
设U、V是两个向量空间。 从U到V的任意映射被称为算子。 令V是域K上的向量空间。我们可以定义包含所有从U到V算子的集合上的向量空间结构(A和B是算子):
- ,
对所有A, B: U→V,xU和αK。
从一个向量空间到自身的算子构成一个辛结合代数:
- ,
单位元是恒等映射(通常记为E、I或id)。
特殊情形
线性算子
线性算子是最常见的算子。设U和V是域K上的向量空间。算子A:U→V被称为线性,如果
对所有x、yU和α、βK。
线性算子的重要性在于它是向量空间之间的态射。
在有限维情形下,线性算子可以以下面的方式由矩阵表示。 设是一个域,和是上有限维向量空间。选择一组基上和一组基在上。令为上的任意向量(假设有爱因斯坦求和约定),且有是线性算子。则有
- 。
所以有是算子在固定基底下的矩阵表示。不依赖于的选取,且有当且仅当。因此在固定基底下的n×m矩阵一一映射到从到的线性算子。
与有限维向量空间之间的算子直接相关的重要概念包括秩、行列式、逆算子和特征空间。
线性算子在无限维情形也起着重要作用。秩和行列式的概念不能扩展到无限维矩阵。 这就是为什么在无限维情况下研究线性算子(和一般的算子)时采用非常不同的技术的原因。 在无限维情况下的对线性算子的研究被称为泛函分析。
实数序列(或更一般地任意向量空间中的向量序列)的空间本身构成无限维向量空间。 最重要的情形是实数或复数序列,这些空间与线性子空间一起被称为序列空间。 这些空间上的算子被称为序列变换。
巴拿赫空间上的有界线性算子在标准算子范数意义下构成Banach代数。 Banach代数理论将特征空间理论推广到更一般的谱的概念。
例子
几何
在几何中,有时研究向量空间上的附加结构。 在这些研究中,将这些向量空间一一映射到自身的算子非常有用,它们通过构造自然地构成群。
例如保持向量空间结构的双射算子正是可逆线性算子。 它们构成了一般线性群。 它们算子加法下不是向量空间,例如, id和-id都是可逆的(双射),但它们的和为0,不可逆。
在这样的空间上保持欧几里得度量的算子构成等度群,保持原型不变的子群被称为正交群。正交群中的保角算子构成特殊正交群。