希爾伯特第七問題

給定以下兩個等價[1]敘述:

1. 在等腰三角形中，若底角和頂角的比值為無理數的代数数，則底邊和側邊長度的比值是否恆為超越數？
2. 若${\displaystyle b}$是无理数、${\displaystyle a}$是非${\displaystyle 0,1}$的代数数，那么${\displaystyle a^{b}}$（例如${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$、${\displaystyle e^{\pi }}$=${\displaystyle i^{-2i}}$）是否恆為超越数？

第二個問題已于1934年由蘇聯數學家阿勒克山德·格爾豐德證明，德國數學家西奧多·施奈德也在1935年獨立證明此問題，他們證明的結果即為格尔丰德-施奈德定理。( ${\displaystyle b}$ 是無理數的條件是必要的，否則令 ${\displaystyle a={\sqrt {2}},b=2}$ 則 ${\displaystyle a^{b}=2}$ 為一代數數)

在第二個問題成立後，也意味著第一個問題成立。

此問題的推廣為貝克定理，艾倫·貝克憑藉此一成果獲得1970年的菲爾茲獎。

• 格尔丰德-施奈德常数${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$。
• 格尔丰德常数${\displaystyle e^{\pi }}$。

• English translation of Hilbert's original address 页面存档备份，存于