年金

按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。

普通年金的现值可以被表达为一个等比数列的总和。

考虑在${\displaystyle t=1,2,...,n}$时刻分别发生数额为${\displaystyle C}$的款项，总共发生${\displaystyle n}$次的现金流（显然，这是年金）。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率${\displaystyle i}$折现，这个年金的现值据此计算：[2]

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]}$ ${\displaystyle \mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,}$

其中${\displaystyle \mathrm {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}} \,}$稱為「年金因子」。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金，比如，从第一年到第十年每年年底付款100元；其中，${\displaystyle i}$是换算周期内对应的利率或当期收益率。[3]

若年金的支付永远进行下去，没有停止的那一天，这种年金被称为永久年金。[4]永久年金现值的计算即令上式中${\displaystyle n\to \infty }$，则${\displaystyle 1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}\to 1}$，

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}}$

因此，前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了${\displaystyle n}$年的永久年金的现值所得。

需要注意的是，这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立：

• 无需考虑通货膨胀，或者所用利率已将通货膨胀考虑在内。
• 将来的支付具有相当高的发生可能性，或者利率已将信用风险考虑在内。

要了解更多，请参见金钱的时间价值。

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