等比数列
等比数列,又名几何数列(英文:geometric sequence 或 geometric progression),是数列的一种。在等比数列中,任何相邻两项的比例相等,该比值称为公比(common ratio)。
例如数列:
就是一个等比数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公比都等于。
性質
如果一个等比数列的首项記作,公比記作,那么该等比数列第项的一般項为:
換句話說,任意一個等比数列都可以寫成
在一個等比數列中,給定任意兩相連項和(其中),可知公比
給定任意兩項和,則有公比
這裡注意,若是偶數,則公比可取此結果的正值或負值。
此外,在一個等比数列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之積,為原來該項的平方。舉例來說,。
更一般地說,有:
證明如下:
證畢。
從另一個角度看,等比數列中的任意一項,是其前一項和後一項的幾何平均:
此結果從上面直接可得。
如果有整數,使得 ,那么则有:
證明如下:
由此可將上面的性質一般化成:
其中是一個小於的正整數。
給定一個等比數列 ,則有:
- 是一個等比數列。
- 是一個等比數列。
- 是一個等差數列。
從等比數列的一般項可知,任意一個可以寫成
形式的數列,都是一個等比數列,其中公比,首項。
等比数列和
一個等比數列的首項之和,稱為等比数列和(sum of geometric sequence)或幾何級數(geometric series),記作。
舉例來說,等比數列的和是。
等比數列求和的公式如下:
其中為首項,為項數,為公比,且。
公式證明如下:
将等比數列和写作以下形式:
- ……(1)
将两边同乘以公比 r,有:
- ……(2)
(1)式减去(2)式,有:
当时,整理後得證。
當時,可以发现:
综上所述,等比数列的求和公式为:
當時,注意到
因此,我們可得無限項之和(sum to infinity)的公式為
由此可見,當時,幾何級數會收斂到一個固定值。
等比数列积
一個等比數列的首 n 項之積,稱為等比数列積(product of geometric sequence),記作 Pn。
舉例來說,等比數列的積是。
等比數列求積的公式如下:
證明如下:
最後一步,使用了等差數列的求和公式。
参见
- 序列
- 數列
- 級數
- 幾何級數
- 幾何平均
- 等差數列
- 等諧數列
- 国际象棋盘与麦粒问题
参考文献
- Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/.
- Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html.
- Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html 页面存档备份,存于.