库塔-儒可夫斯基定理

库塔-儒可夫斯基定理Kutta–Joukowski theorem)是空气动力学的基本定理,計算機翼或是二維物體(例如圓柱)在均勻流體中的升力,且此流場的速度夠快,使物體的速度場是穩定及無分離的。定理顯示出,機翼產生的升力與機翼通過流體速度、流體密度以及环量有所關聯[1]。库塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家馬丁·威廉·庫塔及俄國科學家尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基,他們在二十世紀初首次提出這様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論,不過在典型的空氣動力學應用中,可以用來模擬實際的黏性流。

對於圍繞機翼的流體,环量被定義為與閉合回路相切的「流體切線速度的線積分[2],其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。

库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的關係,類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣[1]。不過此處的环量不是因為機翼的旋轉而產生,而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在,氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場(渦旋)的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生,不同於外形像龍捲風渦旋。若離機翼夠遠時,旋轉流可以視為是由渦旋所引發的,渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的库塔-儒可夫斯基定理時,一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型

升力公式

此定理和在二維流場中的翼型(或是翼展無窮大的圓柱)有關,可以計算單位翼展下的升力。當环量已知,其升力除以翼展下的單位翼展升力(或表示為)可以表示為以下的方程式[3]

 

 

 

 

(1)

其中

分別為流體密度及在翼型上游,遠離翼型位置的流體速度,
為以下線積分定義的环量(逆時針為正值)

上述环量是沿著一個封閉圍道進行,此圍道包覆著翼型或是圓柱,且沿著其正方向(逆時針)進行。其路徑需在位流的範圍內,不能在圓柱的邊界層內。被積分式是局部流體速度沿著曲線切線方向的分量,且為曲線的無窮小面積。方程式(1)是库塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述库塔-儒可夫斯基定理:[4]

任意截面積的柱形物體,其單位長度的受力等於,方向和垂直。

在使用库塔-儒可夫斯基定理時,需注意环量的計算。

环量和库塔條件

一個產生升力的翼型或者具有彎度,或者是在均勻的流體中以一定攻角(机翼弦线和平移方向的角度)平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀,有銳利的後緣,有彎度,在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的,流體速度在翼型邊緣為零,因此若考慮黏性流體,且以翼型形狀為圍道計算環量,其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會,而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的库塔條件。普朗特發現若雷諾數夠大,攻角夠小,翼型夠薄,則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層(稱為邊界層),以及其他區域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大,攻角夠小,厚度夠薄的翼型之壓力和升力時,若假定已考慮库塔條件,可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論,在實務上結果相當接近。在非黏性流施加库塔條件相當於計算环量。

簡單來說,類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力,在飛行中的流場滿足库塔條件。若使用位流理論(在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流,計算阻力時用普朗特邊界層來近似),要求飛行時間符合库塔條件,會得到一個由=库塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力,和實際的升力非常接近。

推導

以下有二種推導方式,第一個是基於物理的直覺,較启发式的推導,第二種是比較正式及技術式的推導,需要用到向量分析複變分析的知識。

啟發式的推導

以較啟發式的說法,考慮一個薄的機翼,其翼弦,有無限長的翼展,在密度為空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角,使翼的一側的氣流速度為,另一側的氣流速度為,因此其環流

機翼兩側的壓力差可以由伯努利定律求得

因此單位翼展的浮力為

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素,也是薄翼理論(thin-airfoil theory)的基礎。

正式的推導

較複雜情形下的升力

库塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流勢流理論為基礎,但若流場是穩定且無分離的,库塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流[6]

在推導库塔-儒可夫斯基定理時,有假設流場是無旋轉流,若在物體外有自由渦流,就像許多不穩定流的情形,此流場為旋轉流,在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

  • 小攻角下突然啟動的流場:若是機翼突然加速,或是攻角較小的情形下突然啟動的流場,在機翼後緣會連續的出現涡片泄离,此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場,涡片會延著平面的路徑,升力係數的曲線會隨時間而變化,其形式會是Wagner函數[7]。此時最終升力會如同库塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣,但初升力只有最終升力的一半[8]。當機翼前進七倍翼弦的距離時,其升力才會達到最終升力的90%。
  • 大攻角下突然啟動的流場:若攻角夠大的話,機翼後緣的涡片一開始會是螺旋形的,理論升力在一開始會是無限大[9]。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的,但在大攻角下,會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。
  • 大攻角下啟動,有銳利的機翼前緣:若針對一片平粄,也有銳利的前緣,涡片泄离會出現在前緣,而前緣的涡片泄离有二種不同的效果:
1.若仍接近前緣,可以提昇Wagner升力曲線,可以增加升力。
2.若前緣的涡片泄离和後緣有關,引入新的後緣螺旋形涡片,延著升力增加的方向移動,則會破壞升力。
對於這種流場,涡升力线(VFL)圖[10]可以用來了解不同情形下涡流帶來的效果(包括流場啟動及其他的條件),也可以控制涡流以增強或降低升力。涡升力线圖是一個二維的圖,其中會繪出涡升力线,其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比,因此渦升力線可以看出涡流對升力的提升或破壞程度。
  • Lagally定理:若在機翼外面有固定的渦源,其對升力的修正可以表示為渦源的強度,及因其他因素造成渦源處誘導速度,這稱為Lagally定理。[11]
針對二相的非黏性流,傳統的库塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零,不過若機翼外有渦源,會產生阻力,其形成原因類似升力。

相關條目

參考資料

  1. . NASA Glenn Research Center. 2010-11-09 [2013-11-07]. (原始内容存档于2014-01-11).
  2. Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)
  3. Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5
  4. A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)
  5. Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406
  6. Anderson J Fundamentals of Aerodynamics, Mcgraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, McGraw-Hill Education, New York 2010
  7. Wagner H Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflueln. Z. Angew. Math. Mech.1925, 5, 17.
  8. Saffman PG Vortex dynamics, Cambridge University Press, New York, 1992 .
  9. Graham JMR,The lift on an aerofoil in starting flow |publisher= Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol 133, pp 413-425
  10. Li J and Wu ZN. . Journal of Fluid Mechanics, 2015, Vol 769, pp 182 - 217.
  11. Milne-Thomson LM Theoretical Hydrodynamics[p226], Macmillan Education LTD, Hong Kong.1968
  • Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
  • Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
  • A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3
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