库塔-儒可夫斯基定理

以較啟發式的說法，考慮一個薄的機翼，其翼弦為${\displaystyle c}$，有無限長的翼展，在密度為${\displaystyle \rho }$的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角，使翼的一側的氣流速度為${\displaystyle V}$，另一側的氣流速度為${\displaystyle V+v}$，因此其環流為

${\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}$

機翼兩側的壓力差${\displaystyle \Delta P}$可以由伯努利定律求得

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}$

${\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}$

因此單位翼展的浮力為

${\displaystyle L=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,}$

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎。

库塔-儒可夫斯基定理的正式推導

首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力[5]。先令單位長度的力（以下簡稱為力）為${\displaystyle \mathbf {F} \,}$，因此總受力為： ${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$ 其中C為長條物體的邊緣、${\displaystyle p}$為流體的靜壓、${\displaystyle \mathbf {n} \,}$為和長條物體表面垂直的單位向量、ds是截面積邊緣的弧狀元素。令${\displaystyle \phi }$為法向量和垂直的夾角，上述力的分量為： ${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$ 以下是重要步驟：將上述的二維空間當作複數平面，每個向量可以用複數表示，第一個分量對應其實部數值，第二個分量對應其虛部數值，因此上述的力可以表示為： ${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$ 下一步是取力${\displaystyle F}$的共轭复数，再做一些處理： ${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$ 表面元素ds和dz的變化有關： ${\displaystyle dz=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\qquad \Rightarrow \qquad d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds.}$ 將這些代入積分中，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$ 接下來為了將壓力移出積分以外，應用伯努利定律。假設沒有其他外在的力場，流體的質量密度為${\displaystyle \rho .}$，壓力${\displaystyle p}$和速度${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$有以下的關係： ${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$ 將上式代入力的積分式，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$ 還剩下一個步驟要進行：引入${\displaystyle w=f(z),}$，流場的複變勢函數，和速度分量的關係是${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$，其中撇号表示對複數變數z的微分。速度會相切於邊緣C，因此${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$，則${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,\,}$，受力的表示式可以改寫為下式： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$ 稱為布拉乌斯-恰普雷金公式（[Blasius–Chaplygin formula）。 若要得到库塔-儒可夫斯基定理，需計算上述積分的值，根據複變分析可知，一個全纯函数可以用洛朗級數來表示，根據此問題的物理特性，複變勢函數${\displaystyle w}$的微分會如以下所示： ${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\dots .}$ 因為在無窮遠處的速度為有限值，此函數沒有其他高階項。因此${\displaystyle a_{0}\,}$即為此函數在無窮遠處的導數：${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$. 下一個任務是找出${\displaystyle a_{1}\,}$的意義，根據留數定理可得 ${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$ 再計算以下的積分： ${\displaystyle \oint _{C}w'(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}$ 第一個積分即為环量，可以用${\displaystyle \Gamma .}$表示，第二個積分可以用以下方式計算： ${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$ 此處${\displaystyle \psi \,}$為流函數，因為邊界C本身即為流線，因此在上面流函數不會變化，即${\displaystyle d\psi =0\,}$，因此第二個積分為零，因此： ${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$ 複變勢函數取平方： ${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\dots .}$ 將上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中，利用留數定理算積分： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$ 因此库塔-儒可夫斯基定理為： ${\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}$