向量分析

向量分析（或向量微積分）是數學的分支，关注向量場的微分和积分，主要在3维欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 中。「向量分析」有时用作多元微积分的代名词，其中包括向量分析，以及偏微分和多重积分等更广泛的问题。向量分析在微分几何与偏微分方程的研究中起着重要作用。它被广泛应用于物理和工程中，特别是在描述电磁场、引力场和流体流动的时候。

向量分析从四元數分析发展而来，由约西亚·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世纪末提出，大多数符号和术语由吉布斯和愛德華·比德韋爾·威爾遜在他们1901年的书《向量分析》中提出。向量演算的常规形式中使用外积，不能推广到更高维度，而另一种几何代数的方法，它利用可以推广的外积，下文将会讨论。

向量运算

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，包括：

还有两个三重积：

标量三重积: 向量和两个向量叉积的点积： $\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ ;
向量三重积: 向量和两个向量叉积的叉积： $\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ 或 $\left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}$ ;

尽管三重積不常作为基本运算，不過仍可以用內積及外積表示。

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

算子	表示	敘述	界域
梯度	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	純量場 $f$ 於場中某點增加率最大的速率與方向	純量場的梯度是向量場
散度	$\operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}$	向量場 ${\vec {F}}$ 於場中某點附近發散或匯聚的程度	向量場的散度是純量場
旋度	$\operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}$	向量場 ${\vec {F}}$ 於場中某點附近旋轉的程度	向量場的旋度是向量場
向量拉普拉斯算子	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度	向量場的向量拉普拉斯是向量場
拉普拉斯算子	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	對純量場 $f$ 作梯度運算後，再作散度運算	純量場的拉普拉斯是純量場

同样，也有几个与这几个相关的重要定理，将微积分基本定理拓展到了更高维度：

定理	表示	註解
梯度定理	$\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理	$\int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	平面内向量场中区域的标量旋度，等於向量场沿逆时针方向的封閉曲線的線積分。
斯托克斯定理	$\int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	$\mathbb {R} ^{3}$ 内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理	$\int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =$ $\oiint$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S}$	向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

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