度分布
度分布是图论和网络理论中的概念。一个图(或网络)由一些顶点(节点)和连接它们的边(连结)构成。每个顶点(节点)连出的所有边(连结)的数量就是这个顶点(节点)的度。度分布指的是对一个图(网络)中顶点(节点)度数的总体描述。对于随机图,度分布指的是图中顶点度数的概率分布。
定义
度分布是图论和(复杂)网络理论中都存在的概念。首先介绍图的概念。一个图是一个由两个集合和构成的二元组。集合一般由有限个元素构成:,其中的元素被称为图的顶点。集合是由个元素构成的集合:。中的每个元素都是一个非负整数。无向图中,的一个元素,表示中的两个顶点和连有条边,并且规定。有向图中,的一个元素,表示中的顶点有条连向顶点的边。如果一个图中所有的都不超过1,并且,那么称图是简单图。
网络理论的数学框架建立在图论上。网络理论中的网络其实就是图论中的图,但在网络理论中称之为网络,图的顶点在网络理论中称为节点,边被称为连结。以下仍旧以图论中的术语定义度分布。
一个无向图中某个顶点的度,是指所有与它相连的边的数目。
有向图中,根据连出边的数目和连入边的数目,分为出度和入度。
因此,一个无向图中,可以看成将每个顶点映射到一个非负整数的函数:
而度分布则是对每个非负整数,考察度数是的顶点在所有顶点中占的比例:
因此满足:
从顶点中等概率地随机抽取一个顶点,那么这个顶点度数为的概率就是。
例子
以下给出一些度分布的例子。右图是由十个顶点构成的无向图。其中度数是4的顶点有3个,度数是3的顶点有6个,度数是6的顶点有1个,所以度分布是:
对于阶完全图,所有的顶点的度数都是,所以度分布是:
如果图是任意两顶点之间以概率连边的随机图,那么每个顶点都有相同的度分布。
这个分布是泊松分布。我们可以构造每个顶点的度数都是这样的概率分布的随机图模型。这样当顶点数很大的时候,度数是的顶点的个数占的比例大致是。这个分布的特点是当k很小或很大的时候,都近似于0,的值在一个特定的值处达到高峰,然后回落。也就是说,大多数的顶点的度数在这个特定值左右。然而在真实的复杂网络中,人们观察到,度分布并不像这种随机图模型显示的,聚集在某个特定值周围,而是随着k增大而以多项式速度递减,也就是遵从所谓的幂律分布:
参考文献
- 引用
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- 期刊文章
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- 书籍