庫默爾定理

庫默爾定理指出，給定整数 n ≥ m ≥ 0和一个質數 p, p-adic賦值 ${\displaystyle \nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)}$ 等於以 p 為基底時 m 加 n-m 的進位次數。

證明很簡單，將${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ 寫成 ${\displaystyle {\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}}$，再使用勒让德定理。

庫默爾定理，可以推广到 多项系数 ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}:={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$ ：

將 ${\displaystyle n}$ 以 ${\displaystyle p}$為基底寫做 ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$和定义 ${\displaystyle S_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$ 是 ${\displaystyle p}$ 基底的数位和。 則

${\displaystyle \nu _{p}\left({\dbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left(\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})-S_{p}(n)\right)}$.

• 卢卡斯定理

• Kummer, Ernst. . Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1852, 44: 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93.

[1]

1. https://planetmath.org/KummersTheorem