整数

整数,在電腦應用上也稱為整型,是序列中所有的的统称,包括负整数(0)与正整数。和自然數一樣,整數也是一個可數無限集合。這個集合在数学上通常表示粗體,源于德语单词Zahlen(意为“”)的首字母

基本

正數
自然数
正整數
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
代數數
实数
複數
高斯整數

负数
整数
负整數
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

二元数
四元數
八元數
十六元數
超實數
大實數
上超實數

雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數
超复数
超數
超現實數

其他

質數
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值

規矩數
可定義數
序数
超限数
p進數
數學常數

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

代數數論中,這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數,用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整数与负整数

整數是一个集合,通常可以分为正整數(0)和負整數正整數(符号:Z+)即大於0的整數,是正数与整数的交集。而負整數(符号:)即小於0的整數,是负数与整数的交集。和整數一样,两者都是可數無限集合。除正整數和負整數外,通常将0與正整數统称为非負整數(符号:Z+0),而将0與負整數统称为非正整數(符号:Z-0)。在数论自然数通常被视为与正整數等同,即1,2,3等,但在集合论计算机科学中自然数则通常是指非负整数,即0,1,2等。

代数性质

下表给出任何整数加法乘法的基本性质。

性質加法乘法
封闭性 是整数是整数
结合律
交换律
存在单位元
存在逆元 整数集中,只有1-1对于乘法存在整数逆元,其余整数关于乘法的逆元,都不为整数。
分配律

全体整数关于加法乘法形成一个环。环论中的整环无零因子环唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

是一个加法循环群,因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与同构

有序性质

是一个全序集,没有上界和下界,其序列如下:

一个整数大于零则为正,小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的,表示如下:

  • ,则(加法)
  • ,则;若,则(乘法)

整数环是一个欧几里德域

電腦中的整數

的基數

基數(或勢)是0,與相同。這可以從建立一雙射函數來證明,亦即該函數要同時滿足單射滿射的條件,例如:

當該函數的定義域僅限於,則證明可建立一一對應的關係,即兩集等勢

参见

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