拉丁方陣

當一個拉丁方陣的第一行與第一列的元素按順序排列時，称為這個拉丁方陣的標準型，英語稱為"reduced Latin square, normalized Latin square, 或Latin square in standard form"。

許多對於拉丁方陣的運算都會產生新的拉丁方陣。例如說，交換拉丁方陣裡的行、交換拉丁方陣裡的列、或是交換拉丁方陣裡的元素的符號，都會得到一個新的拉丁方陣。交換拉丁方陣裡的行、交換拉丁方陣裡的列、或是交換拉丁方陣裡的元素的符號所得的新的拉丁方陣與原來的拉丁方陣稱為同型(isotopic)。同型(isotopism)是一個等價關係，因此所有的拉丁方陣所成的集合可以分成同型類別(isotopic class)的子集合，同型的拉丁方陣屬於同一個同型類別，而不屬於同一個同型類別的拉丁方陣則不同型。

设有两个阶数相同的拉丁方阵${\displaystyle A_{1}=(a_{i,j}^{(1)})_{n\times n},A_{2}=(a_{i,j}^{(2)})_{n\times n}}$，其中将所有放置位置相同的元素组成一个二元组，组合成一个新的矩阵${\displaystyle ((a_{i,j}^{(1)},a_{i,j}^{(2)}))_{n\times n}}$。 当这个新的矩阵${\displaystyle ((a_{i,j}^{(1)},a_{i,j}^{(2)}))_{n\times n}}$中每一个元素互不相同时，拉丁方阵${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle A_{2}}$是互相正交的。 此时，${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle A_{2}}$即为一对正交拉丁方。 而在阶数固定的情况下，所有两两正交的拉丁方所成的集合称为正交拉丁方族。

根据前面所得到关于正交的定义，兩個拉丁方陣相正交所得到的方陣為希臘拉丁方陣(Graeco-Latin square)。 事实上，并不是任意阶数的拉丁方都存在一对正交拉丁方，也就是说，并不是任意阶数的拉丁方均存在希臘拉丁方陣，n階希臘拉丁方陣存在的充要條件是n+2不是2的冪，所以其實幾乎所有的階數都存在希臘拉丁方陣。

目前，沒有公式可以計算 n × n 的拉丁方陣的數量，當 n 很大時，拉丁方陣的數量的最精確的估計值，其上下界也相差很遠。 具体估计公式为： ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(k!)^{n/k}\geq L_{n}\geq {\frac {(n!)^{2n}}{n^{n^{2}}}}}$

以下是已知的數值。當 n 增加時，拉丁方陣的數量急速增多。

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Combinatorial Designs
• Latin Squares in the Encyclopaedia of Mathematics
• Latin Squares in Java at cut-the-knot
• Infinite Latin Square (Java) at cut-the-knot
• Magic Square in Latin Square

• 數獨
• 吠陀方形