摩尔－彭若斯广义逆

定义一

令P_S表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件：

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。

定义二

彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件[3]：

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {AGA}}={\boldsymbol {A}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {AG}}}$不一定是单位矩阵，但却不会改变${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$的列向量。
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {GAG}}={\boldsymbol {G}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$是乘法半群的弱逆
3. ${\displaystyle ({\boldsymbol {AG}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {AG}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {AG}}}$是埃尔米特矩阵
4. ${\displaystyle ({\boldsymbol {GA}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {GA}}}$， ${\displaystyle {\boldsymbol {GA}}}$也是埃尔米特矩阵

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G，就称为A的摩尔－彭若斯广义逆矩阵，记作A⁺。

从摩尔－彭若斯条件出发，彭若斯推导出了摩尔－彭若斯广义逆的一些性质[3]：

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{\dagger })^{H}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}={\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }={\boldsymbol {A}}^{H}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }{\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$，${\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})}$和${\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})}$都是幂等矩阵。