埃尔米特矩阵

埃尔米特矩阵（英語：，又译作厄米特矩阵，厄米矩阵），也稱自伴隨矩陣，是共轭對稱的方陣。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的复共轭。

对于

A=\{a_{i,j}\}\in C^{n\times n}

有：

a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}

，其中

{\overline {(\cdot )}}

记做：

A=A^{H}\quad

例如：

{\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}

就是一个埃尔米特矩阵。

显然，埃尔米特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

性质

C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*})

。

埃尔米特矩阵是正规矩阵，因此埃尔米特矩阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cⁿ的正交基。
n-阶埃尔米特矩阵的元素构成维数为n²的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。
如果埃尔米特矩阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定矩阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定矩阵。

埃尔米特序列（亦或埃尔米特向量）指满足下列条件的序列a_k（其中k = 0, 1,…, n）：

\Im (a_{0})=0\quad {\mbox{and}}\quad a_{k}={\overline {a_{n-k}}}\quad {\mbox{for }}k=1,2,\dots ,n

。

若n是偶数，则a_n/2是实数。

实数序列的离散傅里叶变换是埃尔米特序列。反之，一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。

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