斯托尔兹-切萨罗定理
直观解释
利用与折线斜率的类比,该定理具有直观的几何意义。[2]
相关命题
这个用于解决数列不定型极限的定理与用于解决函数不定型极限的洛必达法则在形式上非常类似。求数列的差分对应于求函数的导函数,斯托尔兹-切萨罗定理就相当于是洛必达法则的离散化版本[2]。但在类比记忆时应当注意,斯托尔兹-切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性(或者至少当项数足够大时,要具有严格单调性),而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求;洛必达法则要求函数在所考察点的邻域上具有可求导性,但斯托尔兹-切萨罗定理对数列不存在类似限制(数列没有“可差分性”一说)。并非所有的函数都可以进行求导运算,但任何数列都是可以进行差分运算的。
此定理的逆命题不成立。也即当满足条件的存在时,未必存在。如设,,这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散至无穷大。易知存在,且数值为1。但是当时是震荡的,即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的,而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。
推广
该定理的一个推广形式如下:
- 如果 和是两个数列,而是单调无界的,那么
参考资料
外部链接
- Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p. 85 (restricted online copy,第85頁,於Google圖書)
- 奥托·施托尔茨. [一般算数讲义:新视角]. 莱比锡: B.G.托伊布内出版社 (原出版商),互联网档案馆 (存档网站). 1885: 173–175 (德语).
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