有界函数

在数学中，如果在某个集合X上定义的具有实数或复数值的某个函数f的值域是有界集合，则函数f被称为有界的（或有界函数）。换句话说，存在实数M＞０，使得对于集合X中的所有x，都有 $|f(x)|\leq M$ 。有时，如果对于集合X中的所有x，都有 $f(x)\leq A$ ，则函数f称为上有界的，A就是它的一个上界；如果对于集合X中的所有x，都有 $f(x)\geq B$ ，则函数称为下有界的，B就是它的一个下界。

有界函数（红色）和无界函数（蓝色）的示意图。可以看到，有界函数的图形保持在（虚线）水平带内，而无界函数的图形不保持在水平带内。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列f = ( a₀, a₁, a₂, ... ) 是有界的，如果存在一个数M ＞0，使得对于所有的自然数n，都有|a_n| ≤ M。

例子

由f (x)=sin x所定义的函数f:R → R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。
函数

f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}

（x不等于−1或1）是无界的。当x越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。

函数

f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}

是有界的。

任何一个连续函数f:[0,1] → R都是有界的。
考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

参见

有界集合
支撑集
一致有界

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