差分
差分,又名差分函數或差分運算,是数学中的一个概念。它将原函数 映射到 。差分運算,相應於微分運算,是微积分中重要的一个概念。
系列條目 | |||||
微积分学 | |||||
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基础概念(含极限论和级数论)
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一元微分
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多元微积分
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定义
差分分为前向差分和逆向差分。
前向差分
函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数,如果在等距节点:
则称,函数在每个小区间上的增量为一阶差分。[1]
在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时,前向差分为Delta算子(称为差分算子[2]),一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。
逆向差分
对于函数,如果:
则称为的一阶逆向差分。
牛頓級數
牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。
参考
- 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P204.
- 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P205.
- Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1
参考文献
- Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, , Theoretical Computer Science, 1995, 144 (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M.
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