有限深方形阱

在阱內，位勢${\displaystyle V(x)=0\,\!}$，方程簡化為：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!}$。(2)

設定波數${\displaystyle k\,\!}$為

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!}$。(3)

代入方程(2)：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!}$。

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數${\displaystyle \psi _{2}(x)\,\!}$是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!}$；

其中，${\displaystyle A\,\!}$與${\displaystyle B\,\!}$都是複值常數，由邊界條件而決定。

在阱外，位勢${\displaystyle V(x)=V_{0}>0\,\!}$，薛丁格方程為：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!}$。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$的形式為：

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$：阱左邊，${\displaystyle x<-L/2\,\!}$（阱外區域），

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!}$：阱內，${\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!}$（阱內區域），

${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$：阱右邊，${\displaystyle x>L/2\,\!}$（阱外區域）。

當${\displaystyle x\,\!}$趨向負無窮，包含${\displaystyle F\,\!}$的項目趨向無窮。類似地，當${\displaystyle x\,\!}$趨向無窮，包含${\displaystyle I\,\!}$的項目趨向無窮。可是，波函數在任何${\displaystyle x\,\!}$都必須是有限值。因此，必須設定${\displaystyle F=I=0\,\!}$。阱外區域的波函數變為

${\displaystyle \psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!}$。

在阱左邊，隨著${\displaystyle x\,\!}$越小，波函數${\displaystyle \psi _{1}(x)\,\!}$呈指數遞減。而在阱右邊，隨著${\displaystyle x\,\!}$越大，波函數${\displaystyle \psi _{3}(x)\,\!}$呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於${\displaystyle x=0\,\!}$，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

假若，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$是奇函數，則

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)\,\!}$，

${\displaystyle G=-H\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}$，

由於整個波函數${\displaystyle \psi \,\!}$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}$

將波函數的公式代入：

${\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!}$，(5)

${\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!}$。(6)

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\,\!}$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數${\displaystyle \alpha \,\!}$與波數${\displaystyle k\,\!}$的關係：

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!}$。

這也造成了離散的能量。

假若，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$是偶函數，則

${\displaystyle \psi _{2}=A\cos(kx)\,\!}$，

${\displaystyle G=H\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}$，

由於整個波函數${\displaystyle \psi \,\!}$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}$

將波函數的公式代入：

${\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!}$，(7)

${\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!}$。(8)

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\,\!}$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數${\displaystyle \alpha \,\!}$與波數${\displaystyle k\,\!}$的關係：

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!}$。

這也造成了離散的能量。