条件期望

设${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是离散随机变量，则${\displaystyle X}$在给定事件${\displaystyle Y=y}$条件时的条件期望是${\displaystyle x}$的在${\displaystyle Y}$的值域的函数

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},}$

其中，${\displaystyle {\mathcal {X}}}$是处于${\displaystyle X}$的值域。

如果现在${\displaystyle X}$是一个连续随机变量，而${\displaystyle Y}$仍然是一个离散变量，条件期望是：

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx}$

其中，${\displaystyle f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)}$是在给定${\displaystyle Y=y}$下${\displaystyle X}$的条件概率密度函数。

• 全概率公式
• 全期望公式
• 联合分布

• （英文）Ushakov, N.G., , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4