条件独立
在概率论和統計學中,两事件R和B在给定的另一事件Y发生时条件独立,類似於統計獨立性,就是指当事件Y发生时,R发生与否和B发生与否就条件概率分布而言是独立的。换句话讲,R和B在给定Y发生时条件独立,当且仅当已知Y发生时,知道R发生与否无助于知道B发生与否,同样知道B发生与否也无助于知道R发生与否。
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定義
R和B在给定Y发生时条件独立,用概率论的标准记号表示为
也可以等价地表示为
因为当事件Y发生时,R发生与否和B发生与否就条件概率分布而言是独立的。
两个随机变量X和Y在给定第三个随机变量Z的情况下条件独立当且仅当它们在给定Z时的条件概率分布互相独立,也就是说,给定Z的任一值,X的概率分布和Y的值无关,Y的概率分布也和X的值无关。
法则
因這些推论在任何機率空間中都成立,因此也对所有变量关于另一变量的条件概率分布成立,只需考慮相应子空间即可。譬如說也就意味着。
注:位於算式下方的逗號意为“和”。
對稱性
分解
證明:
- (的定义)
- (对B积分以消去B)
同理可证X和B條件獨立。
微弱的聯合
證明:
- 藉由定義
- 由於分解的屬性,
- 結合兩個等式得,其中確認 第二個條件可以類似地被證明。
註釋
- 这个等式证明如下:Pr(R ∩ B | Y)是R和B在Y中的重合部分(用紫色表示)面积占Y面积的比值。左图中,有两个R和B重合的方格位于Y内,而Y有12个方格,所以Pr(R ∩ B | Y) = 212 = 16。同理,Pr(R | Y) = 412 = 13,Pr(B | Y) = 612 = 12。
參考資料
- Dawid, A. P. . Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1979, 41 (1): 1–31. JSTOR 2984718. MR 0535541.
- J Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000, Cambridge University Press
參見
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