標準差
標準差(又稱標準偏差、,英語:,縮寫),數學符號(sigma),在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義:為方差開算术平方根,反映组内個體間的離散程度;標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果,原則上具有兩種性質:
- 為非負數值(因為開平方後再做平方根);
- 與測量資料具有相同單位(這樣才能比對)。
一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差,及一個子集合樣品數的標準差之間,有所差別。其公式如下所列。
標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。
闡述及應用
簡單來說,標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。
例如,兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二個集合具有較小的標準差。
表述“相差k个标准差”,即在 的样本(Sample)范围内考量。
標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中,做重複性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差佔有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為如果測量值都落在一定數值範圍之外,可以合理推論預測值是否正確。
標準差應用於投資上,可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大,代表回報遠離過去平均數值,回報較不穩定故風險越高。相反,標準差數值越小,代表回報較為穩定,風險亦較小。
母體的標準差
基本定義
为平均值()。
样本的标准差
在真实世界中,找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。
從一大組數值當中取出一樣本數值組合,常定義其樣本標準差:
範例
這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }:
- 第一步,計算平均值︰
- 當(因為集合裏有4個數),分別設為:
- (此為平均值)
- 第二步,計算標準差︰
- (此為標準差).
常態分佈的規則
在實際應用上,常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確,則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍,約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍,以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。
- .[1]
數字比率 標準差值 |
機率 | 包含之外比例 | |
---|---|---|---|
百分比 | 百分比 | 比例 | |
0.318 639σ | 25% | 75% | 3 / 4 |
0.318 639σ | 25% | 75% | 3 / 4 |
490σ 0.674 | % 50 | % 50 | 1 / 2 |
458σ 0.994 | 68% | 32% | 1 / 3.125 |
1σ | 9492% 68.268 | 0508% 31.731 | 1 / 4872 3.151 |
552σ 1.281 | 80% | 20% | 1 / 5 |
854σ 1.644 | 90% | 10% | 1 / 10 |
964σ 1.959 | 95% | 5% | 1 / 20 |
2σ | 9736% 95.449 | 0264% 4.550 | 1 / 895 21.977 |
829σ 2.575 | 99% | 1% | 1 / 100 |
3σ | 0204% 99.730 | 9796% 0.269 | 1 / 370.398 |
527σ 3.290 | 99.9% | 0.1% | 1 / 1000 |
592σ 3.890 | 99.99% | 0.01% | 1 / 000 10 |
4σ | 666% 99.993 | 334% 0.006 | 1 / 787 15 |
173σ 4.417 | 99.999% | 0.001% | 1 / 000 100 |
σ 4.5 | 99.9993204653751% | 0.0006795346249% | 1 / 159.5358 147 3.4 / 000000 (每一邊) 1 |
638σ 4.891 | % 99.9999 | % 0.0001 | 1 / 000000 1 |
5σ | 9426697% 99.999 | 0573303% 0.000 | 1 / 744278 1 |
724σ 5.326 | 99% 99.999 | 01% 0.000 | 1 / 000000 10 |
729σ 5.730 | 999% 99.999 | 001% 0.000 | 1 / 000000 100 |
σ 6 | 9998027% 99.999 | 0001973% 0.000 | 1 / 797346 506 |
410σ 6.109 | 9999% 99.999 | 0001% 0.000 | 1 / 000000000 1 |
951σ 6.466 | 99999% 99.999 | 00001% 0.000 | 1 / 000000000 10 |
502σ 6.806 | 999999% 99.999 | 000001% 0.000 | 1 / 000000000 100 |
7σ | 99.9999999997440% | 000000256% 0.000 | 1 / 682215445 390 |
標準差與平均值之間的關係
一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说,如果用平均值來考量數值的中心的话,則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為:設為實數,定義函数:
使用微積分或者通过配方法,不難算出在下面情況下具有唯一最小值:
几何学解释
从几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子,一组数据中有3个值,。它们可以在3维空间中确定一个点。想像一条通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等,则点就是直线上的一个点,到的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等,过点作垂线垂直于,交于点,则的坐标为这3个值的平均数:
运用一些代数知识,不难发现点与点之间的距离(也就是点到直线的距离)是。在维空间中,这个规律同样适用,把换成就可以了。