次可加性

一个函数f:A→B，其定义域A和陪域B上分别定义了某种加法${\displaystyle +_{A}}$和${\displaystyle +_{B}}$，且陪域B上定义了偏序关系“${\displaystyle \leq }$”。若该函数满足：∀x,y∈A，有${\displaystyle f(x+_{A}y)\leq f(x)+_{B}f(y)}$。则称f对于${\displaystyle +_{A}}$和${\displaystyle +_{B}}$满足次可加性。在上下文对于${\displaystyle +_{A}}$和${\displaystyle +_{B}}$都很明确的情况下，通常简称为 f 满足次可加性，亦称f为次可加函数。

若上述函数f满足：∀有限集${\displaystyle \{x_{i}|x_{i}\in A,i=1\cdots n\}}$，有${\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{n}x_{i}\right)\leq \sum _{k=1}^{n}f(x_{i})}$，则称f满足有限次可加性。

若上述函数f满足：∀可列集${\displaystyle \{x_{i}|x_{i}\in A,i=1\cdots \infty \}}$，有${\displaystyle f\left(\sum _{k=1}^{\infty }x_{i}\right)\leq \sum _{k=1}^{\infty }f(x_{i})}$，则称f满足可列次可加性。

• 单位函数 ${\displaystyle f(x)=x}$ 显然是（全）可加的，这是一个平凡的例子。另一个平凡的例子是零函数 ${\displaystyle f(x)=0}$。
• 范数
• 集函数的次可加性：定义域为集类S，值域为[0, ∞]上的广义实值集函数f，若：
  • ${\displaystyle \forall A,B\in S}$，有${\displaystyle f(A\cup B)\leq f(A)+f(B)}$，则称f为次可加的。
  • ${\displaystyle \forall {A_{i}}\in S,i=1\cdots n}$，有${\displaystyle f\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}f(A_{i})}$，则称f为有限次可加的。
  • ${\displaystyle \forall {A_{i}}\in S,i=1\cdots \infty }$，有${\displaystyle f\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})}$，则称f为可列次可加的。
• 平方根函数，它有非负实数定义域和陪域，因为 ${\displaystyle \forall x,y\geq 0}$ 我们有:

${\displaystyle {\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.}$

若序列 ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},n\geq 1}$ 满足：${\displaystyle \forall i,j\geq 1}$，有${\displaystyle a_{i+j}\leq a_{i}+a_{j}}$。 则称该序列为次可加的，或称该序列满足次可加性，或称该序列是次可加序列。

对于次可加序列，有Michael Fekete的重要引理。[1]

引理(Michael Fekete)：对任一次可加序列 ${\displaystyle {\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }}$，有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}=\inf {\frac {a_{n}}{n}}}$ 。（注意该极限可能是-∞。)

Fekete 引理的对应者对于次可加函数也成立: ${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.}$ (极限可以是正无穷: 考虑序列 ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$。)

有不要求不等式 (1) 对于所有 ${\displaystyle m}$ 和 ${\displaystyle n}$ 成立的 Fekete 引理的扩展。还有结果允许你推导收敛到其存在性规定于 Fekete 引理中的极限的速率，如果存在着某种超加性和次可加性。[2]