歐拉-拉格朗日方程
歐拉-拉格朗日方程(英語:)為變分法中的一條重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的臨界值(平穩值)函數,換句話說也就是求此泛函在其定義域的臨界點的一個方法,與微積分差異的地方在於,泛函的定義域為函數空間而不是 。
第一方程
設,以及在中連續,並設泛函
- 。
若使得泛函取得局部平穩值,則對於所有的,
- 。
推廣到多維的情況,記
- ,
- ,
- 。
若使得泛函取得局部平穩值,則在區間內對於所有的,皆有
- 。
第二方程
設,及在中連續,若使得泛函取得局部平穩值,則存在一常數,使得
- 。
例子
例一:两点之间最短曲线
設及為直角坐標上的兩個固定點,欲求連接兩點之間的最短曲線。設,並且
- ;
這裏,為連接兩點之間的曲線。則曲線的弧長為
- 。
現設
- ,
- ,
取偏微分,則
- ,
- ,
- 。
若使得取得局部平穩值,則符合第一方程:
- ,
- 。
因此,
- ,
- 。
隨積分,
- ,
- ;
這裏,為常數。重新編排,
- ,
- 。
再積分,
- ,
- 。
代入初始條件
- ,
- ;
即可解得,是連接兩點的一條線段。
另經過其他的分析,可知此解為唯一解,並且該解使得取得極小值,所以在平面上連結兩點間弧長最小的曲線為一直線。
參考書籍
- Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.
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