正扭歪無限面體

在幾何學中，正扭歪[1]無限面體（英語：）是一種頂點並非全部共面的正無限面體，即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖。

歷史

關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體。

考克斯特找到了三種形式，他們具有平的面和扭歪的頂點圖，兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是個正邊形的公共頂點，且存在正邊形的空洞。

若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體，則其施萊夫利符號存在下列等式：

  • 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)

三維空間的正扭歪無限面體

三維空間中有三種扭歪無限面體，分別為四角六片四角孔扭歪無限面體、六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體。約翰·康威將他們稱為多立方體（英語：）、多八面體（英語：）和、多四面體（英語：），英文中的字首mu-表示「多」（英語：）的意思，其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」[2]。

  1. 四角六片四角孔扭歪無限面體（多立方體、英語：）：{4,6|4}：每個頂點都是六個正方形的公共頂點
  2. 六角四片四角孔扭歪無限面體（多八面體、英語：）：{6,4|4}：每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
  3. 六角六片三角孔扭歪無限面體（多四面體、英語：）：{6,6|3}：每個頂點都是六個六邊形的公共頂點

考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p,q,p,r)]+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性[3]。

緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群
對稱性		 l}圖像面
{p}		洞
{l}		頂點圖相關堆砌

[[4,3,4]]
[[4,3,4]+]		 {4,6|4}
四角六片四角孔
扭歪無限面體
多立方體
動畫		扭歪六邊形

（黃色部分）
t0,3{4,3,4}
{6,4|4}
六角四片四角孔
扭歪無限面體
多八面體
動畫		扭歪四邊形

（綠色部分）
2t{4,3,4}

[[3[4]]]
[[3[4]]+]		3}
六角六片三角孔
扭歪無限面體
多四面體
動畫		扭歪六邊形

（綠色部分）
q{4,3,4}

三維雙曲空間的正扭歪無限面體

1967年時，C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式，發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體[4]。

14種緊空間正扭歪無限面體
14種緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群 l}面
{p}		洞
{l}		堆砌頂點圖l}面
{p}		洞
{l}		堆砌頂點圖

[3,5,3]		3}
2t{3,5,3}		3}
t0,3{3,5,3}

[5,3,5]		5}
2t{5,3,5}		5}
t0,3{5,3,5}

[(4,3,3,3)]		3}
ct{(4,3,3,3)}		3}
ct{(3,3,4,3)}

[(5,3,3,3)]		3}
ct{(5,3,3,3)}		3}
ct{(3,3,5,3)}

[(4,3,4,3)]		3}
ct{(4,3,4,3)}		4}
ct{(3,4,3,4)}

[(5,3,4,3)]		3}
ct{(4,3,5,3)}		3}
ct{(5,3,4,3)}

[(5,3,5,3)]		3}
ct{(5,3,5,3)}		5}
ct{(3,5,3,5)}

17種仿緊空間正扭歪無限面體
17種仿緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群 l}面
{p}		洞
{l}		堆砌頂點圖l}面
{p}		洞
{l}		堆砌頂點圖

[4,4,4]		4}
2t{4,4,4}		4}
t0,3{4,4,4}

[3,6,3]		3}
2t{3,6,3}		3}
t0,3{3,6,3}

[6,3,6]		6}
2t{6,3,6}		6}
t0,3{6,3,6}

[(4,4,4,3)]		4}
ct{(4,4,3,4)}		4}
ct{(3,4,4,4)}

[(4,4,4,4)]		4}
q{4,4,4}

[(6,3,3,3)]		3}
ct{(6,3,3,3)}		3}
ct{(3,3,6,3)}

[(6,3,4,3)]		3}
ct{(6,3,4,3)}		3}
ct{(4,3,6,3)}

[(6,3,5,3)]		3}
ct{(6,3,5,3)}		3}
ct{(5,3,6,3)}

[(6,3,6,3)]		3}
ct{(6,3,6,3)}		6}
ct{(3,6,3,6)}

參見

參考文獻
  1. . gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16].
  2. The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
  3. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
  4. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. 页面存档备份，存于 Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

外部連結
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