法图引理
在测度论中,法图引理说明了一个函数列的下极限的积分(在勒贝格意义上)和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图(Pierre Fatou),被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。
证明
定理的证明基于单调收敛定理(非常容易证明)。设为函数列 的下极限。对每个正整数 k ,逐点定义下极限函数:
于是函数列g1, g2, . . .单调递增并趋于 。
任意k ≤ n,我们有gk ≤ fn,因此
于是
据此,由单调收敛定理以及下极限的定义,就有:
反向法图引理
令为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数,函数的值域为扩展实数(包括无穷大)。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ,使得对所有的 n 都有,那么
这里只需弱可积,即。
证明:对函数列应用法图引理即可。
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外部链接
- PlanetMath上法图引理的資料。
参考来源
- H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.
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