叉积
在数学和向量代数领域,外積(英語:)又称向量积(英語:),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号 。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 和 ,它们的外积写作 ,是 和 所在平面的法线向量,与 和 都垂直。外积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。
如果两个向量方向相同或相反(即它们没有线性无关的分量),亦或任意一个的长度为零,那么它们的外积为零。推广开来,外积的模长和以这两个向量为边的平行四边形的面积相等;如果两个向量成直角,它们外积的模长即为两者长度的乘积。
外积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量,但与点积之不同的是,外积还依赖于定向或右手定則。
定义
两个向量 和 的外积仅在三维空间中有定义,写作 。在物理学中,外积有时也被写成,但在数学中 是外代数中的外积。
外积 是与 和 都垂直的向量 。其方向由右手定則决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。
外积可以定义为:
其中 表示 和 在它们所定义的平面上的夹角()。 和 是向量 和 的模长,而 则是一个与 、 所构成的平面垂直的单位向量,方向由右手定則决定。根据上述公式,当 与 平行(即 为 0° 或 180°)时,它们的外积为零向量 。
按照惯例,向量 的方向由右手定則决定:将右手食指指向 的方向、中指指向 的方向,则此时拇指的方向即为 的方向。使用这一定则意味着外积满足反交换律,:将右手食指指向 、中指指向 ,那么拇指就必定指向相反方向,即翻转了外积的符号。
由此可以看出,使用外积需要考虑坐标系的利手性(英語:),如果使用的是左手坐标系,向量 的方向需要使用左手定则决定,与右手坐标系中的方向相反。
这样就会带来一个问题:参照系的变换不应该影响 的方向(例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换)。因此,两个向量的外积并不是(真)向量,而是伪向量。
计算
性质
几何意义
如果以向量 和 为边构成一个平行四边形,那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的正面积相等(如图1):
同时,如果以向量 、、 为棱构成一个平行六面体,那么这个平行六面体的体积 也可以通过外积和点积的组合得到,这种积称作标量三重积(如图2):
因为标量三重积可能为负,平行六面体的体积需要取其绝对值:
因为外积的模长与其参数夹角的正弦有关,可以认为外积是「垂直度」的度量,正如点积是「平行度」的度量一样。对于任意两个单位向量,外积为1意味着它们互相垂直,外积为0意味着它们互相平行。点积则相反:点积为0意味着它们互相垂直。
单位向量还能带来两个特性:两个单位向量的点积是它们夹角的余弦(可正可负);它们外积的模长则为夹角的正弦(始终为正)。
向量微分
對於實數 和兩個向量值函數 、,乘積法則成立:
三維坐標
给定直角坐标系的单位向量,,满足下列等式:
- 、、
通过这些规则,两个向量的外积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设
则
外积也可以用四元数来表示。注意到上述 、、 之间的外积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k,两个向量的外积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。
应用
另外,在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中,外积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的外积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。