波动方程

一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k：

其中u(x)表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于x+h处的质点m上的力为：

${\displaystyle F_{Newton}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}}$

${\displaystyle F_{Hooke}=F_{x+2h}+F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]}$

其中${\displaystyle F_{Newton}}$代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力，${\displaystyle F_{Hooke}}$代表根据胡克定律计算的弹簧作用力。所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h处质点的运动方程为：

${\displaystyle m{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}$

式中已注明u(x)是时间t的显函数。

若N个质点间隔均匀地固定在长度L = N h的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k/N，我们可以将上面的方程写为：

${\displaystyle {\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}}$

取极限 N ${\displaystyle \rightarrow \infty }$, h${\displaystyle \rightarrow 0}$就得到这个系统的波动方程：

${\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}}$

在这个例子中，波速${\displaystyle c={\sqrt {\frac {KL^{2}}{M}}}}$。

一维标量形式波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的。原方程可以写成如下的算子作用形式：

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.\,}$

从上面的形式可以看出，若F和G为任意函数，那么它们以下形式的组合

${\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\,}$

必然满足原方程。上面两项分别对应两列行波——F表示经过该点（x点）的右行波，G表示经过该点的左行波。为完全确定F和G的最终形式还需考虑如下初始条件：

${\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)\,}$

经带入运算，就得到了波动方程著名的达朗贝尔行波解，又称达朗贝尔公式：

${\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}$

在经典的意义下，如果${\displaystyle f(x)\in C^{k}}$并且${\displaystyle g(x)\in C^{k-1}}$则${\displaystyle u(t,x)\in C^{k}}$。但是，行波函数F和G也可以是广义函数，比如狄拉克δ函数。在这种情况下，行波解应被视作左行或右行的一个脉冲。

基本波动方程是一个线性微分方程，也就是说同时受到两列波作用的点的振幅就是两列波振幅的相加。这意味着可以通过把一列波分解成它的许求解中很有效。此外，可以通过将波分离出各个分量来分析，例如傅里叶变换可以把波分解成正弦分量。

球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化，所以可以将它写成仅与距源点距离r相关的函数。方程的三维形式为：

${\displaystyle u_{tt}-c^{2}\left(u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right)=0.\,}$

将方程变形为：

${\displaystyle (ru)_{tt}-c^{2}(ru)_{rr}=0;\,}$

此时，因变量ru满足一维波动方程，于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成：

${\displaystyle u(t,r)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),\,}$

其中F和G为任意函数，可以理解为以速度c从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。这类从点源传出的波强度随距点源距离r衰减，并且属于无后效波，可以清晰地搭载信号。这种波仅在奇数维空间中存在（原因将在下一小节中详细解释）。幸运的是，我们生活的空间是三维的，所以我们可以清晰地通过声波和电磁波（都属于球面波）来互相交流。

上面方程的解裏面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向内。很明顯，只要將t換成-t，就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程對於時間是對稱的，任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。

然而，我們所觀察到的實際的波，都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整，我們無法在自然界觀察到向内的波，儘管它們也是波動方程的合法的解。

關於這個現象，引起了不少討論。有人認爲，實際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中，則因爲沒有光到達我們的眼睛，我們不可能看見這個物體或者發現這個現象（见参考文献[2] ）。

波动方程中u是线性函数，并且不随时间和空间坐标的平移而改变。所以我们可以通过平移与叠加球面波获得方程各种类型的解。令φ(ξ,η,ζ)为任意具有三个自变量的函数，球面波形F为狄拉克δ函数（数学语言是：F是一个在全空间积分等于1且非零区间收缩至原点的连续函数的弱极限）。设(ξ,η,ζ)位一族球面波的源点，r为距源点的径向距离，即：

${\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.\,}$

可定义

${\displaystyle U(t,x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\delta (r-ct)}{4\pi cr}}}$

称为三维波动方程的影响函数，其意义为(ξ,η,ζ)点在t=0时刻受到短促脉冲δ函数作用后向空间中传出的波的影响，系数分母4πc是为方便后续处理而加上的。

若u是这一族波函数的加权叠加，且权函数为φ，则

${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta$ ;\,}

从δ函数的定义可知，u还能写成

${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )d\omega ,\,}$

式中α、β和γ是单位球面S上点的坐标，dω为S上的面积微元。该结果的意义为：u(t,x,y,z)是以(x,y,z)为圆心，ct为半径的球面上φ的平均值的t倍：

${\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].\,}$

从上式易得

${\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).\,}$

平均值是关于t的偶函数，所以若

${\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),\,}$

那么

${\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.\,}$

以上得出的便是波动方程初值问题的解。从中可以看出，任意点P在t时刻受到的波扰动只来自以P为圆心，ct为半径的球面上，而这个球的内部点在这一时刻对P点的状态完全没有影响（因为它们的影响之前就已经传过P点了）。换一个角度分析，假设三维空间中任意点P' 在t=0时刻受到一个脉冲扰动δ，那么由此发出的球面波在传过空间中的任意其它点Q后，便再也不会对Q的运动状态产生影响，这就是在物理学中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也称为无后效现象，表示传过的球面波不会留下任何后续效应。

下面我们便可以解释上一小节中留下的问题了。事实上，前面所得到的球面波解仅在奇数维空间中存在。偶数维空间中波动方程的解是弥散的，也就是说波阵面掠过区域仍然会受其影响。以下面的二维波动方程（极坐标形式，注意和上一小节三维形式的差别）为例：

${\displaystyle u_{tt}-c^{2}(u_{rr}+{\frac {1}{r}}u_{r})=0}$

可以从三维形式的解通过降维法得到二维波动方程的影响函数：

${\displaystyle U(t,x-\xi ,y-\eta )={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi c}}{\frac {1}{\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}},&r\leq ct\\0,&r>ct\end{cases}}}$

其中

${\displaystyle r={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}}$

设点M(x,y)到点(ξ,η)距离为d，那么从影响函数中可以看出，当t >d /c即初始扰动已传过M点后，M仍在受到它的影响。二维球面波（柱面波）的这一性质决定了它不能作为传递信号的工具，因为这种波（事实上包括所有偶数维空间中的球面波）经过的点受到的是交织在一起的各个不同时刻的扰动。

一根自身绷紧，两端分别固定于x=0和x=L的弹性弦在t>0时刻，0 < x < L上运动满足波动方程。在边界点处，可以要求u满足各种边界条件。通常遇到的边界条件都可归纳成下列形式：

${\displaystyle -u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,\,}$

${\displaystyle u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,\,}$

其中a、b非负。若要弦的两端固定不动，对应上面式子中a、b趋于无穷大。求解偏微分方程的分离变量法要求寻找以下形式的解：

${\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).\,}$

将上述假设形式代入原方程中可以得到：

${\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .\,}$

为使边值问题有非平凡解，本征值λ须满足

${\displaystyle v''+\lambda v=0,\,}$

${\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.\,}$

这是固有值问题的斯图姆-刘维尔理论的一个特例。若a、b为正数，则对应的所有本征值均为正数，方程的解为三角函数。使u和u_t满足平方可积条件的解可以通过适当选取u和u_t 三角级数展开来求得。

一维初始值-边值理论可以拓展至任意维空间中。考虑m维空间（坐标简写为x）中的域D，B为D的边界。当0<t时，位于D内的点x满足波动方程。在D的边界上，解u须满足

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,}$

其中n是B上指向域外的法向矢量，a是定义在B上的非负函数。要求u在B上始终为0的边界条件相当于令a趋于无穷。初始条件为

${\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}=g(x),\,}$

其中f和g是定义在D内的函数。这个问题可以通过将f和g展开成域D内拉普拉斯算子满足边界条件的本征函数系的叠加来求解（这是分离变量法的一般步骤）。也就是求解在域D内满足

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,}$

在边界B上满足

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,}$

的本征函数系v。

在二维情形下，上述本征函数系可以理解成绷紧地张在边界B上的鼓面的自由振动模态。若B是一个圆，则这些本征函数是关于极角自变量θ的三角函数与关于极轴自变量r的整阶贝塞尔函数的乘积。更详细的说明参见英文版条目亥姆霍兹方程。

在三维形式下，若边界是空间中的球面，那么本征函数是关于球坐标下两个极角自变量的球面调和函数，乘以关于径向自变量ρ的半奇数阶贝塞尔函数。