三角函数

a, b, h分別為角A的对边、邻边和斜边

在直角三角形中仅有锐角（大小在0到90度之间的角）三角函数的定义[6]。给定一个锐角${\displaystyle \theta }$，可以做出一个直角三角形，使得其中的一个内角是${\displaystyle \theta }$。设这个三角形中，${\displaystyle \theta }$的对边、邻边和斜边长度分别是${\displaystyle a,b,h}$，那么

${\displaystyle \theta }$的正弦是对边与斜边的比值：${\displaystyle \sin {\theta }={\frac {a}{h}}}$

${\displaystyle \theta }$的餘弦是邻边与斜边的比值：${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {b}{h}}}$

${\displaystyle \theta }$的正切是对边与邻边的比值：${\displaystyle \tan {\theta }={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle \theta }$的余切是邻边与对边的比值：${\displaystyle \cot {\theta }={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \theta }$的正割是斜边与邻边的比值：${\displaystyle \sec {\theta }={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \theta }$的餘割是斜边与对边的比值：${\displaystyle \csc {\theta }={\frac {h}{a}}}$

设${\displaystyle P(x,y)}$是平面直角坐标系${\displaystyle xOy}$中的一个点，${\displaystyle \theta }$是横轴正向${\displaystyle {\vec {Ox}}}$逆时针旋转到${\displaystyle {\vec {OP}}}$方向所形成的角，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是${\displaystyle P}$到原点${\displaystyle O}$的距离，则${\displaystyle \theta }$的六个三角函数定义为[7]：

正弦	餘弦	正切	餘切	正割	餘割
${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}}$	${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}}$	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}}$	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}}$	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {r}{x}}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {r}{y}}}$

这样可以对0到360度的角度定义三角函数。要注意的是以上的定义都只在定义式有意义的时候成立。比如说当${\displaystyle x=0}$ 的时候，${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$和${\displaystyle {\frac {r}{x}}}$都没有意义，这说明对于90度角和270度角，正切和正割没有定义。同样地，对于0度角和180度角，余切和余割没有定义。

三角函数也可以依据直角坐标系${\displaystyle xOy}$中半径为1，圆心为原点${\displaystyle O}$的单位圆来定义[1]。给定一个角度${\displaystyle \theta }$，设${\displaystyle A(1,0)}$为起始点，如果${\displaystyle \theta >0}$则将${\displaystyle OA}$逆时针转动，如果${\displaystyle \theta <0}$则顺时针移动，直到转过的角度等于${\displaystyle \theta }$为止。设最终点A转到的位置为${\displaystyle P(x,y)}$，那么：

正弦	餘弦	正切	餘切	正割	餘割
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}}$	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}}$	${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}$

用单位圆定义三角函数

这个定义和坐标系的定义类似，但角度θ可以是任何的数值。对于大于360°或小于-360°的角度，可以认为是逆时针（顺时针）旋转了不止一圈。而多转或少转了整数圈不会影响三角函数的取值[8]。如果按弧度制的方式记录角度，将弧长作为三角函数的输入值（360°等于${\displaystyle 2\pi }$），那么三角函数就是取值为全体实数R，周期为${\displaystyle 2\pi }$的周期函数。比如：

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right),\quad \forall \theta \in \mathbb {R} ,\;\;k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right),\quad \forall \theta \in \mathbb {R} ,\;\;k\in \mathbb {Z} }$

周期函数的最小正周期叫做这个函数的基本周期。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是${\displaystyle 2\pi }$弧度或360°；正切或余切的基本周期是${\displaystyle \pi }$弧度或180°。

不同的三角函数之间存在很多对任意的角度取值都成立的等式，被称为三角恒等式。其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1[1]。这可从斜边为1的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：

${\displaystyle \sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1.}$

因此可推導出:

${\displaystyle \tan ^{2}\!x+1=\sec ^{2}\!x.}$

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\!x=\csc ^{2}\!x.}$

另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦[1]。它们可以用几何的方法使用托勒密的论证方法推导出来；还可以用代数方法使用欧拉公式得出。

当两个角相同的时候，和角公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）。

这些等式还可以用来推导积化和差恒等式[10]，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。（利用制好的三角函数表）

三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。下面是六個基本三角函數的導數和積分的列表。

函数	${\displaystyle \,\ \sin x}$	${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ \tan x}$	${\displaystyle \,\ \cot x}$	${\displaystyle \,\ \sec x}$	${\displaystyle \,\ \csc x}$
导函数	${\displaystyle \,\ \cos x}$	${\displaystyle \,\ -\sin x}$	${\displaystyle \,\ \sec ^{2}x}$	${\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x}$	${\displaystyle \,\ \sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle \,\ -\csc {x}\cot {x}}$
原函数*	${\displaystyle \,\ -\cos x}$	${\displaystyle \,\ \sin x}$	${\displaystyle \,\ -\ln \left|\cos x\right|}$	${\displaystyle \ln \left|\sin x\right|}$	${\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|}$	${\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|}$
* 不计常数项

正弦函数（蓝色）十分接近于它的7次泰勒级数（粉红色）。

几何学中，三角函数的定义是建立在几何直观上的，只用几何和极限的性质，就可直接获知正弦和餘弦的導數。分析学中，三角函數是解析函數，数学家用泰勒級數给出了不依赖几何直观的代数定义[11]：

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

可以证明以上的无穷级数对任意实数${\displaystyle x}$都是收敛的，所以很好地定义了正弦和余弦函数。

三角函数的级数定义经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。

其他三角函数的级数定义：[12]

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots (0<|x|<\pi )}$

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \left(|x|<{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots (0<|x|<\pi )}$

其中${\displaystyle B_{n}\,}$是伯努利数，${\displaystyle E_{n}\,}$是欧拉数。

这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述级数来定义的。

可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：

${\displaystyle e^{{\mathrm {i} }\theta }=\cos \theta +{\mathrm {i} }\sin \theta \,.}$（i是虚数单位）

这个关系式首先被欧拉注意到，因此叫做欧拉公式[13] 。从中可推出，对实数x，

${\displaystyle \cos x\,=\,\operatorname {Re} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)\;\;,\qquad \quad \sin x\,=\,\operatorname {Im} \;\left(e^{{\mathrm {i} }x}\right)}$

进一步还可以定义对复自变量z的三角函数：

${\displaystyle \sin z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}-e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2{\mathrm {i} }}=-{\mathrm {i} }\sinh \left({\mathrm {i} }z\right)}$

${\displaystyle \cos z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{{\mathrm {i} }z}+e^{-{\mathrm {i} }z} \over 2}=\cosh \left({\mathrm {i} }z\right)}$

${\displaystyle \sin(a+b\mathrm {i} )=\sin a\cosh b+(\cos a\sinh b)\mathrm {i} }$

${\displaystyle \cos(a+b\mathrm {i} )=\cos a\cosh b-(\sin a\sinh b)\mathrm {i} }$

${\displaystyle \tan(a+b\mathrm {i} )={\frac {\tan a+(\tanh b)\mathrm {i} }{1-(\tan a\tanh b)\mathrm {i} }}}$

複平面中的三角函數（亮度表示函數值的絕對值，色相表示函數值的主輻角）

${\displaystyle \sin(z)}$	${\displaystyle \cos(z)}$	${\displaystyle \tan(z)}$	${\displaystyle \cot(z)}$	${\displaystyle \sec(z)}$	${\displaystyle \csc(z)}$

除了上述六個基本函數，历史上還有下列幾个较少見的三角函数：

正矢	${\displaystyle \mathrm {versin} \;\theta =1-\cos \theta }$	半正矢	${\displaystyle \mathrm {haversin} \;\theta ={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$
	${\displaystyle \mathrm {vercosin} \;\theta =1+\cos \theta }$		${\displaystyle \mathrm {havercosin} \;\theta ={\frac {1+\cos \theta }{2}}}$
餘矢	${\displaystyle \mathrm {coversin} \;\theta =1-\sin \theta }$	半餘矢	${\displaystyle \mathrm {hacoversin} \;\theta ={\frac {1-\sin \theta }{2}}}$
	${\displaystyle \mathrm {covercosin} \;\theta =1+\sin \theta }$		${\displaystyle \mathrm {hacovercosin} \;\theta ={\frac {1+\sin \theta }{2}}}$
外正割	${\displaystyle \mathrm {exsec} \;\theta =\sec \theta -1}$	外餘割	${\displaystyle \mathrm {excsc} \;\theta =\csc \theta -1}$

三角函数在物理学中是研究振动和波的不可或缺的工具。例如简谐振动满足以下微分方程，正弦和余弦函数都满足

${\displaystyle y''+y=0\,}$

就是说，它们加上自己的二阶导数都等于0函数。在由所有这个方程的解的二维向量空间${\displaystyle V}$中，正弦函数是满足初始条件${\displaystyle y(0)=0}$和${\displaystyle y'(0)=1}$的唯一解，而余弦函数是满足初始条件${\displaystyle y(0)=1}$和${\displaystyle y'(0)=0}$的唯一解[14]。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了${\displaystyle V}$的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见线性微分方程）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足${\displaystyle y''=-y\,}$，这意味着它们是二阶导数算子的特征函数。

正切函数是非线性微分方程

${\displaystyle y'=1+y^{2}\,}$

满足初始条件${\displaystyle y(0)=0}$的唯一解。有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程；参见的Visual Complex Analysis。[15]

弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一个角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的

${\displaystyle f(x)=\sin(kx);k\neq 0,k\neq 1\,}$

则导数将正比于“振幅”。

${\displaystyle f'(x)=k\cos(kx)\,}$.

这里的${\displaystyle k}$是表示在单位之间映射的常数。如果${\displaystyle x}$是度，则

${\displaystyle k={\frac {\pi }{180^{\circ }}}.}$

如果${\displaystyle x}$是圈（轉，${\displaystyle 2\pi }$弧度，${\displaystyle 360}$度），則

${\displaystyle k=2\pi }$

这意味着使用度（或圈）的正弦的二阶导数不满足微分方程

${\displaystyle y''=-y\,}$,

但满足

${\displaystyle y''=-k^{2}y\,}$;

对余弦也是类似的。

这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。因为凡是作为函数意义上的正弦、余弦、正切，都只用弧度定义，而不用360度的角度定义。

在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数${\displaystyle \sin }$和${\displaystyle \cos }$使得对于所有实数${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，下列方程成立[16]：

${\displaystyle \sin ^{2}\!x+\cos ^{2}\!x=1,\,}$

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin \!x\cos \!y+\cos \!x\sin \!y,\,}$

${\displaystyle \cos(x+y)=\cos \!x\cos \!y-\sin \!x\sin \!y,\,}$

并满足附加条件

${\displaystyle 0<x\!\cos \!x<\sin \!x<x\ \mathrm {for} \qquad 0<x<1}$.

从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。

如图所示，大小为 ${\displaystyle 30^{\circ }}$和 ${\displaystyle 45^{\circ }}$的整数倍的${\displaystyle \theta }$角和它们的精确正弦和余弦值已被标注在单位圆上。${\displaystyle \theta }$角均用弧度制和角度制表示。${\displaystyle \theta }$角所对应的单位圆上的点的坐标为（${\displaystyle \cos \theta }$，${\displaystyle \sin \theta }$）。

对于一些简单的角度，使用毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理）可以很容易手工计算三角函数的值。事实上，${\displaystyle \pi /60}$ 弧度（3°）的任何整数倍的正弦、余弦和正切都可以手工计算。以下是一些常用的特殊函数值[21]。

函数名	${\displaystyle 0\ (0^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}\ (15^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\ (30^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\ (45^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\ (60^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}\ (75^{\circ })}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ (90^{\circ })}$
${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$
${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$
${\displaystyle \csc }$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1}$

注：有时候${\displaystyle \pm \infty }$会被写作无定义(不存在)。

利萨茹曲线，一种三角基的函数形成的图像。

正弦定理声称对于边长为${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$而相应角为${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$和${\displaystyle C}$的三角形，有[23]：

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

其中${\displaystyle R}$是三角形的外接圆半径。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况,前述為數學常用。至於物理學應用為三分力且合力為0的情況。

余弦定理（也叫做余弦公式）是托勒密定理的推广[23]：

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}$

也可表示为：

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

还有一个正切定理[24]:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\dfrac {A+B}{2}}}{\tan {\dfrac {A-B}{2}}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}$

其中 ${\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$为三角形的内切圆半径， ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$为三角形的半周长。

谐波数目递增的方波的加法合成的动画。

三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影[25]。

三角函数在一般周期函数的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的（通常是无限的）和[26]；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数[27]

${\displaystyle x_{\mathrm {square} }(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\left[(2k-1)t\right]} \over (2k-1)}.}$

在右边的动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。