波塞利耶-利普金机械

首先，需要證明O點、B點和D點共線。這可以用觀察的方式得知，連桿是兩側對稱的，以直線OD為對稱軸，因此B一定在此線上。

若要用正式的方式證明。因為邊BD和自身相等，邊BA和邊BC相等，邊AD和邊CD相等，因此三角形BAD和三角形BCD全等，角BAD和角BCD相等。

接下來要證明三角形OBA和三角形OBC全等。因為線OA和線OC相等，邊OB和自身相等，邊BA和邊BC相等，因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。

以下四個角的和是一個圓角，因此

∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360°

但因為三角形的全等，角OBA = 角OBC，角DBA = 角DBC，因此

2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360°

∠OBA + ∠DBA = 180°

因此，點O、B、D共線。

令點P為線段AC和線段BD的交點。因為ABCD是菱形，P會是線段AC和線段BD的中點，因此，線段BP和線段PD等長。

因為邊BP和邊DP相等，邊AP和自身相等，邊AB和邊AD相同，因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等於角DPA。但因為角BPA + 角DPA = 180°，因此角BPA和角DPA都是90°。

令：

${\displaystyle x=\ell _{BP}=\ell _{PD}}$

${\displaystyle y=\ell _{OB}}$

${\displaystyle h=\ell _{AP}}$

則：

${\displaystyle \ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy}$

${\displaystyle {\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}}$ （因為畢氏定理）

${\displaystyle {\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}}$

${\displaystyle {\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}}$ （因為畢氏定理）

${\displaystyle {\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}}$

因為OA和AD的長度固定,，因此OB和OD的乘積為定值：

${\displaystyle \ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}}$

又因為O點、B點和D點共線，因此D點是B點相對圓(O,k)（圓心在O點，半徑為k）的反演點。

透過反演幾何的特性，因為點D的軌跡是點B軌跡的反演。若B的軌跡是通過反演中心O的圓，則點D的軌跡會是一直線。若點B的軌跡是不通過點O的直線，則點D的軌跡是通過點O的圓。Q.E.D.

圖中的滑塊搖桿四連桿是波塞利耶-利普金机械的輸入

波塞利耶-利普金机械有許多的反演機構。其中一個如圖所示，以滑塊搖桿四連桿（ rocker-slider four-bar）為輸入，若要再細分，滑塊為輸入，使得搖桿以及波塞利耶-利普金机械轉動。