克卜勒問題

所有的吸引性的連心力都能夠形成圓形軌道，前提是連心力必須相等於粒子的向心力。給定圓半徑，這要求相當於物體的角速度已被決定。在此條目裏，不會提到非連心力。一般而言，非連心力不能形成圓形軌道。

假設，一個質量為${\displaystyle m\,\!}$的粒子移動於一個連心勢${\displaystyle V(r)\,\!}$內。${\displaystyle r\,\!}$是徑向坐標。其拉格朗日方程式為

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}\,\!}$；

其中，時間是${\displaystyle t\,\!}$，角速度是${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}\,\!}$，運動常數角動量是${\displaystyle L=mr^{2}\omega \,\!}$。

詳細說明，對於圓形軌道，方程式左手邊第一項目等於零；如預期，連心力${\displaystyle -{\frac {dV}{dr}}\,\!}$相等於向心力${\displaystyle -mr\omega ^{2}\,\!}$。

角動量定義可以將自變數從${\displaystyle t\,\!}$改變為${\displaystyle \theta \,\!}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\,\!}$，

這樣，新的運動方程式不含時間：

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}\,\!}$。

變數變換${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}\,\!}$，將方程式兩邊乘以${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}\,\!}$，則可得二次微分方程式：

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)\,\!}$。

對於一個反平方作用力，像萬有引力或靜電力，位勢可以表示為

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku\,\!}$。

代入微分方程式，

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{L^{2}}}\,\!}$。

導引出軌道為

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]\,\!}$；

其中，離心率是${\displaystyle e\,\!}$，相位常數是${\displaystyle \theta _{0}\,\!}$。這些都是積分常數。

這是一個焦點在力中心點的圓錐曲線方程式。圓錐曲線的離心率與總能量${\displaystyle E\,\!}$有關：

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}\,\!}$。

假若${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}\,\!}$，則${\displaystyle e=0\,\!}$，軌道是圓形的；假若${\displaystyle E<0\,\!}$，則${\displaystyle e<1\,\!}$，軌道是橢圓形的；假若${\displaystyle E=0\,\!}$，則${\displaystyle e=1\,\!}$，軌道是拋物線；假若${\displaystyle E>0\,\!}$，則${\displaystyle e>1\,\!}$，軌道是雙曲線。

• 克卜勒定律
• 廣義相對論中的克卜勒問題
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 伯特蘭定理
• 哈密頓-亞可比方程式
• 作用量-角度坐標
• 牛頓旋轉軌道定理

1. Arnold, VI. . New York: Springer-Verlag. 1989: 38. ISBN 0-387-96890-3.
2. Goldstein, H. 2^nd edition. Addison Wesley. 1980. 引文格式1维护：冗余文本 (link)