自然密度

以平方数集和自然数集的大小关系为例：

平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数${\displaystyle n}$都可以找到对应的平方数${\displaystyle n^{2}}$与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。

然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集${\displaystyle A}$和整数区间${\displaystyle [1,n]}$：

如果从整数区间${\displaystyle [1,n]}$中随机选取一个整数，那么这个整数属于${\displaystyle A}$的概率应该等于${\displaystyle A}$与整数区间${\displaystyle [1,n]}$的交集中的所有元素在整数区间${\displaystyle [1,n]}$中的占比。当${\displaystyle n}$趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为${\displaystyle A}$的自然密度。

${\displaystyle A}$的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于${\displaystyle A}$的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

对于一个自然数集的子集${\displaystyle A}$，当${\displaystyle n}$趋向于无穷时，若${\displaystyle A}$中不大于${\displaystyle n}$的元素个数与${\displaystyle n}$的比值收敛到${\displaystyle \alpha }$，则称${\displaystyle A}$的自然密度为${\displaystyle \alpha }$。

更进一步，若定义${\displaystyle a(n)}$为${\displaystyle A}$里不大于${\displaystyle n}$的元素个数，那么命题“${\displaystyle A}$的自然密度为${\displaystyle \alpha }$”等效于：

${\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha }$，当${\displaystyle n\to \infty }$[1]

从定义中可以看出，若${\displaystyle \alpha }$是某个集合${\displaystyle A}$的自然密度，则一定有${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$。

• 若对于集合${\displaystyle A}$存在${\displaystyle d(A)}$，则对于其补集${\displaystyle A^{\complement }}$，${\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)}$成立。
• 若${\displaystyle d(A)}$，${\displaystyle d(B)}$及${\displaystyle d(A\cup B)}$均存在，则${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}$成立。
• 自然数集的自然密度为${\displaystyle 1}$，即${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}$成立。
• 对于自然数集的任意有限子集${\displaystyle F}$, 有${\displaystyle d(F)=0}$成立。
• 对于平方数集${\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}$，有${\displaystyle d(A)=0}$成立。
• 对于偶数集${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}$，有${\displaystyle d(A)=0.5}$成立。更一般地，对于等差级数组成的集合${\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}$，有${\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}}$成立。
• 对于质数集合${\displaystyle P}$，由质数定理知：${\displaystyle d(P)=0}$成立。
• 无平方数因数的数的集合的自然密度为${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$。更一般地，无${\displaystyle n}$次方因数的数的集合的自然密度为${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}}$，其中${\displaystyle \zeta (n)}$是黎曼ζ函數。
• 过剩数集合具有非零的自然密度[3]。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间[4]。
• 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}}$，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。

其上自然密度为：

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}$

而其下自然密度为：

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}$

• 同样，所有十进制表示法中以${\displaystyle 1}$开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$而其下自然密度为${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$。[1]
• 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$，定义单调集族${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$:

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}$

则依定义有：

对于任意的${\displaystyle x}$，${\displaystyle d(A_{x})=x}$。

• 若${\displaystyle S}$有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理表明${\displaystyle S}$包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理表明，${\displaystyle S}$内一定存在差为平方数的两个元素。

用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合${\displaystyle A}$的对数密度（英語：）可以定义为：

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}}$（若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

• 狄利克雷密度
• 施尼勒尔曼密度

• Nathanson, Melvyn B. . Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002.
• Niven, Ivan. . Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, 57: 420–434. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9.
• Steuding, Jörn. (PDF). 2002 [2014-11-16]. （原始内容 (PDF)存档于December 22, 2011）.
• Tenenbaum, Gérald. . Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001.