电荷守恒定律

在靜電學裏，電勢乃是相對的，不是絕對的。假設在三維空間的電勢為${\displaystyle \phi =f(\mathbf {r} )}$，現將電勢加上一個常數${\displaystyle c}$，改為${\displaystyle \phi '=f(\mathbf {r} )+c}$，則電場不會改變，這性質稱為規範不變性。[8]由於這性質，必需先設定在某參考位置的電勢，在其它位置的電勢才具有真實物理意義。因此，每一條方程式只會涉及到相對電勢，不會涉及到絕對電勢。

電荷守恆與規範不變性密切相關。這可以用一個思想實驗來論述。假設某種過程可以破壞電荷守恆（假若無法永久地破壞，至少可以暫時地破壞）。這過程會在空間裏電勢為${\displaystyle V_{1}}$的某位置${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$生成電荷${\displaystyle q}$，然後將這電荷遷移至在空間裏電勢為${\displaystyle V_{2}}$的位置${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$，最後將這電荷湮滅。注意到這過程並沒有破壞全域電荷守恆定律，只破壞了局域電荷守恆定律。

現在規定，在任意位置，生成電荷需要輸入能量${\displaystyle W}$，湮滅電荷會釋出能量${\displaystyle W}$。由於生成電荷或湮滅電荷的位置是任意位置，${\displaystyle W}$不會與相對電勢有關。${\displaystyle W}$也不會與絕對電勢有關。那麼，整個過程會使得系統獲得能量${\displaystyle W+qV_{1}-qV_{2}-W}$。但是，這樣做會違反能量守恆。為了遵守能量守恆，必需要求局域電荷守恆。所以，由於規範不變性，電荷守恆定律成立。[9]

在電磁學裏，對電勢與磁向量勢做規範變換，

${\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$、

${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \Lambda }$；

其中，規範函數${\displaystyle \Lambda (\mathbf {r} ,t)}$是任意純量場。

新的電場${\displaystyle \mathbf {E} '}$、磁場${\displaystyle \mathbf {B} '}$分別為

${\displaystyle \mathbf {E} '=-\nabla \phi '-{\frac {\partial \mathbf {A} '}{\partial t}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=\mathbf {E} }$、

${\displaystyle \mathbf {B} '=\nabla \times \mathbf {A} '=\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$，

分別與舊的電場${\displaystyle \mathbf {E} }$、磁場${\displaystyle \mathbf {B} }$相同。這性質稱為規範不變性。由於這性質，在規範變換下，馬克士威方程組的形式不變。[8]

根據諾特定理，電荷守恆可以理解為由於對稱性而導致的後果。諾特定理表明，每一種守恆定律，必定有其伴隨的物理對稱性。伴隨著電荷守恆的對稱性是電磁場的規範不變性。[10]

採用高斯單位制，張量標記，愛因斯坦求和約定，思考電磁場的拉格朗日密度${\displaystyle {\mathcal {L}}}$，[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-\ {\frac {1}{16\pi }}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }A^{\alpha }\\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$是電磁張量，${\displaystyle c}$是光速，${\displaystyle J_{\alpha }}$是四維電流密度，${\displaystyle A^{\alpha }}$是電磁四維勢。

現在，做一個微小變換

${\displaystyle A'^{\alpha }=A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda }$；

其中，${\displaystyle \Lambda (x^{\alpha })}$是規範函數。

新的拉格朗日密度${\displaystyle {\mathcal {L}}'}$為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=-\ {\frac {1}{16\pi }}[\partial _{\alpha }(A_{\beta }+\partial _{\beta }\Lambda )-\partial _{\beta }(A_{\alpha }+\partial _{\alpha }\Lambda )]\ [\partial ^{\alpha }(A^{\beta }+\partial ^{\beta }\Lambda )-\partial ^{\beta }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )]-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }(A^{\alpha }+\partial ^{\alpha }\Lambda )\\&={\mathcal {L}}-\ {\frac {1}{c}}J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \\\end{aligned}}}$ 。

在這種規範變換下，拉格朗日密度不是不變量，但是作用量${\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{\mathbb {V} }{\mathcal {L}}\ \mathrm {d} ^{4}x}$是不變量：[11]

${\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }J_{\alpha }\partial ^{\alpha }\Lambda \mathrm {d} ^{4}x=-\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x+\ {\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$是四維積分體積。

應用散度定理，四維體積積分${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\partial ^{\alpha }(J_{\alpha }\Lambda )\mathrm {d} ^{4}x}$可以變為一個三維曲面積分。將${\displaystyle \mathbb {V} }$增大，使得表面不存在任何四維電流${\displaystyle J_{\alpha }}$，則這項目等於零。那麼，

${\displaystyle {\mathcal {I}}'-{\mathcal {I}}={\frac {1}{c}}\int _{\mathbb {V} }\Lambda \partial ^{\alpha }J_{\alpha }\mathrm {d} ^{4}x}$。

注意到${\displaystyle \Lambda }$是任意函數，所以，假若作用量${\displaystyle {\mathcal {I}}}$是規範不變量，則必定導致

${\displaystyle \partial ^{\alpha }J_{\alpha }=0}$。

採用高斯單位制，自旋1/2粒子的旋量場的狄拉克拉格朗日密度為[12]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常數，${\displaystyle c}$是光速，${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$是狄拉克矩陣（），${\displaystyle \psi }$是四維旋量，${\displaystyle {\overline {\psi }}}$是${\displaystyle \psi }$的狄拉克伴隨（），${\displaystyle m}$是粒子質量。

對於全域規範變換，

${\displaystyle \psi '=\psi e^{i\theta }}$；

其中，${\displaystyle \theta }$是常數相移。

在全局規範變換下，拉格朗日密度${\displaystyle {\mathcal {L}}}$是不變量：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}'&=i\hbar c{\overline {\psi '}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi '-mc^{2}{\overline {\psi '}}\psi '\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })-mc^{2}{\overline {\psi }}e^{-i\theta }\psi e^{i\theta }\\&=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi \\&={\mathcal {L}}\\\end{aligned}}}$ 。

可是，對於局域規範變換，${\displaystyle \theta =\theta (x^{\mu })}$不是常數。在局域規範變換下，由於${\displaystyle \partial _{\mu }(\psi e^{i\theta })=(\partial _{\mu }\psi )e^{i\theta }+i(\partial _{\mu }\theta )\psi e^{i\theta }}$，拉格朗日密度${\displaystyle {\mathcal {L}}}$不是不變量：

${\displaystyle {\mathcal {L}}'={\mathcal {L}}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$。

因此，必需添加額外項目，才能使${\displaystyle {\mathcal {L}}}$成為不變量。猜想新拉格朗日密度的形式為

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$；

其中，${\displaystyle A_{\mu }}$是新添加的四維向量場。

假設，對於局域規範變換，${\displaystyle A'_{\mu }=A_{\mu }+\partial _{\mu }\Lambda }$。那麼，在局域規範變換下，

${\displaystyle {\mathcal {L}}'_{1}={\mathcal {L}}_{1}-\hbar c(\partial _{\mu }\theta ){\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi +q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \partial _{\mu }\Lambda }$。

設定${\displaystyle \Lambda =-\hbar c\theta /q}$，則拉格朗日密度${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}$成為規範不變量。但是四維向量場${\displaystyle A_{\mu }}$的物理意義仍舊不清楚。

思考自旋為1、質量為${\displaystyle m}$的粒子的四維向量場，其普羅卡拉格朗日密度（）為

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P}=-\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })+{\frac {m^{2}c^{2}}{8\pi \hbar ^{2}}}A^{\nu }A_{\nu }}$。

在局域規範變換下，這方程式右手邊第一個項目是不變量，但第二個項目不是不變量。假設粒子不具質量${\displaystyle m=0}$，則可除去第二個項目。將這粒子不具質量的普羅卡拉格朗日密度與拉格朗日密度${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}$綜合在一起，所得到的拉格朗日密度${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}$是規範不變量：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha })(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha })-q{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$。

假設${\displaystyle A_{\mu }}$是電磁四維勢、四維電流密度${\displaystyle J_{\mu }}$是${\displaystyle J_{\mu }=cq{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$、電磁張量${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$是${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}$，那麼，${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}$表示為

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi -\ {\frac {1}{16\pi }}(F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta })-{\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }}$。

這方程式右手邊前面兩個項目是描述電子或正子的狄拉克場的拉格朗日密度，後面兩個項目則是以光子為媒介的電磁場的拉格朗日密度。對於${\displaystyle A_{\mu }}$的拉格朗日方程式為馬克士威方程組：

${\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }-{\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }=0}$。

規範不變性有很多可被檢驗的後果。例如，局域規範不變性要求光子不具有質量。因此，假若做實驗能夠精確地證實光子不具有質量，這也會成為電荷守恆的強證據。[13]

可是，甚至當物理系統具有完全的規範不變性時，假若電荷從正常的三維空間漏入隱藏的額外維度，則仍舊會有可能發生電荷不守恆現象。[14][15]