矩阵函数

如果实值函数 f具有泰勒展开

${\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots }$

那么矩阵函数可以通过用矩阵替换自变量${\displaystyle x}$得到：指数运算变成矩阵指数，加法变成矩阵和，与标量系数的乘法变成矩阵和标量的乘法。如果实级数在${\displaystyle |x|<r}$时收敛，那么其对应的关于${\displaystyle A}$的矩阵级数也将收敛，如果在某个满足${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|}$的矩阵范数${\displaystyle \|\cdot \|}$上满足${\displaystyle \|A\|<r}$。

如果矩阵${\displaystyle A}$是可对角化矩阵，则结果可以简化为一个由各个特征值的函数值构成的矩阵。换句话说，假设我们可以找到矩阵${\displaystyle P}$和对角阵${\displaystyle D}$，使得${\displaystyle A=P\cdot D\cdot P^{-1}}$，那么 把指数级数的定义用到这个分解上，我们可以得到

${\displaystyle f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end{bmatrix}}P^{-1}~,}$

其中${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}}$表示${\displaystyle D}$的对角元素。