矩 (图像)

原始矩包含以下的一些的有关原始图像属性的信息：

• 二值图像的面积 或 灰度图像的像素总和，可以表示为：${\displaystyle M_{00}}$
• 图像的 几何中心 可以表示为： ${\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}$

有关方向的信息可以通过以下方式，构建一个 协方差矩阵.

${\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}$

${\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}$

图像 ${\displaystyle I(x,y)}$的 协方差矩阵 是：

${\displaystyle \operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}}$.

该矩阵的特征向量对应于图像强度的长轴和短轴，因此可以从与最大特征值相关的特征向量的角度朝向最接近该特征向量的轴提取方向 。可以看出，该角度θ由以下公式给出：

${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}$

上述公式只要满足以下条件：

${\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}$

这个协方差矩阵的特征值可以很容易地表示为

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}$

并且与特征向量轴的平方长度成正比。特征值的大小的相对差异显示了图像的偏心率或图像的细长性。此时 离心率 可以计算为：

${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}.}$

任意阶的中心矩 μ_{i j} 都是平移不变的。

关于 平移 和 缩放 的不变性 可以通过将 η_{i j} 除以适当缩放的第零个中心矩来从中心矩构造：

${\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}$

其中 i + j ≥2 。 可以注意到，平移不变性仅仅直接使用中心矩进行计算。

基于 Hu 的工作[1][2] ， 平移, 缩放，以及 旋转 不变量 可以表示为：

${\displaystyle I_{1}=\eta _{20}+\eta _{02}}$

${\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}$

${\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}$

${\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}$

${\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}$

${\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].}$

这些就是著名的 Hu不变矩 。

首先，I₁ 近似于图像质心周围的惯性矩 ，其中像素的强度近似于物理密度。其次，I₇ 是倾斜不变的，这使它能够用于区分其他镜像的相同图像。

J. Flusser提出了一个关于导出完整的独立的转动力矩不变量集的一般理论。 [3]他表明传统的 胡不变矩 集既不独立也不完整。 I₃ 不是非常有用，因为它取决于其他参数。在原始的 胡不变矩 中，缺少三阶独立矩不变性：

${\displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}$

后来，J。Flusser和T. Suk [4]专门研究了 N旋转对称情况 的理论。