秩 (J编程语言)

秩（Rank）是对标量（非面向阵列）编程语言中循环的推广[1][2]。它还是Lisp语言中的mapcar[3]，和现代函数式编程语言中的“map”的推广，和APL\360中的标量扩展、内（矩阵）积和外积的推广。秩的正规实现是在J语言中，但在Dyalog 页面存档备份，存于APL、ISO的扩展APL技术标准和NARS2000中也能获得。

简介

秩有一些不同的含义。一般的说，秩的概念用于依据它们的子阵列来对待正交阵列[4]。例如，二维阵列可以在秩2上，按一个完整的阵列来处理；或者在秩1上，工作于它所包含的一维列或行之上；或在秩0上，工作在它的单独元素之上。J语言中有三种秩：

  • 名词秩，名词的秩是非负整数。
  • 动词秩，动词的秩是三个整数的列表。
  • 秩连词，秩连词"用来通过指定的秩导出一个动词。

名词秩

在J中，名词是阵列。名词的秩是这个阵列的维数。派生的动词#@$确定了一个名词的秩。

人们通常用如下名字称呼低维阵列[5]，尽管有时这是有争论的[6]：

名字 秩
原子或标量 0
列表或向量 1
表格或矩阵 2
立体或张量 3

一个N维整数阵列可以通过i.建立，它接受一个整数向量作为参数。其中整数的数目定义了维数而每个整数的绝对值定义对应维的长度。

   i. 3
0 1 2

   i. 2 3
0 1 2
3 4 5

   i. 2 3 4
 0  1  2  3
 4  5  6  7
 8  9 10 11

12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23

秩作为循环的推广

理解秩要求知道一些非常基础的面向阵列编程概念。在大多数基于阵列的语言中，归约（reduction）用前向斜杠/来指示。在J中，斜杠接受一个函数左参数，和要被这个函数归约的阵列作为右参数。

   +/ 1 2 3
6

预期的结果是1 + 2 + 3。

现在我们用加法归约一个二维阵列。

   +/ i. 2 3
3 5 7

预期结果是0 1 2 + 3 4 5。归约下行到每一列，将这一列的所有数都加在一起。

应用+/到二维阵列对应于如下C语言代码片段[7]：

for(j = 0; j < 3; ++j) {
    sum[j] = 0;
}
for(i = 0; i < 2; ++i) {
    for(j = 0; j < 3; ++j) {
        sum[j] += array[i][j];
    }
}

假定我们希望合计每一列的项目，如在C语言代码中：

for(i = 0; i < 2; ++i) {
    sum[i] = 0;
    for(j = 0; j < 3; ++j) {
        sum[i] += array[i][j];
    }
}

要生成这个结果3 12。我们在J中不用循环，可以简单的使用秩连词：

   +/"1 i. 2 3
3 12

为了进一步展示在J中秩是如何工作的，我们可以将最初的表达式看作是秩2。算符被映射到这个阵列的最高秩之上。

   +/"2 i. 2 3
3 5 7

动词秩

在J中，动词是接受名词参数产生名词结果的函数。动词的秩控制着动词如何应用到秩大于0的名词。这个动词秩被表达为三个数：

  1. 一元情况的秩
  2. 二元情况用于左参数的秩
  3. 二元情况用于右参数的秩

例如，−y使用−作为单子是一元情况，x−y使用−作为二元体是二元情况。在所有情况下，有一些底层动词被应用于“单元”（cell），它是指示秩的子阵列。如果参数没有那么多维，就是整个参数。

在动词中，负数秩被解释为作为参数提供的名词秩减少指示的值。（但永不小于零。）例如，一个动词具有一元秩负1，在给它一个秩3的参数的时候，将参数分解成秩2整列的一个列表。动词的主体被应用到这些二维子阵每个之上一次。

在特定动词和特定名词的上下文下，名词的诸维被分开成前缀维的序列，叫做框架（frame）；和后缀维的序列，叫做单元（cell）。正数动词秩指示单元维的数目，负数动词秩指示框架维的数目。

在二元的情况下，有两个框架：一个用于左参数，而另一个用于右参数。这些框架必须一致。如果框架不同一，一个必须是另一个的前缀；例如：(i. 2 3) *"0 1 i. 2 3 4，将左侧的每个标量（0维项目）乘以右侧的每个向量（1维项目）。求值这个动词的结果将有最长框架的维数作为结果的前缀维。跟随着结果维，如果有的话，将是动词应用到有关单元的结果。在退化的情况下，参数没有足够的维数，动词的秩被有效的缩减（这将影响它的结果）。例如：

   10 + 4 5 6
 14 15 16

这里的动词+有秩0 0 0，左参数有秩0，而右参数有秩1（长度3的1维）。因此，左参数有秩0框架而右参数有秩1框架（维长度3）。左参数的（空）框架是右参数的框架的有效后缀，所以这是一个有效的运算，结果有秩1和维长度3。

秩连词

秩连词接受一个动词左参数和一个名词右参数来建立一个新动词。名词右参数构成自三个数，分别指定一元秩、二元左秩和二元右秩[8]。

如果右参数只有两个数，它们被接受为二元情况下的秩：第一个数是左参数的秩，而第二个数是右参数的秩。所以，如果我们想要将一个向量加到一个矩阵的每个向量：

   1 2 3 +"1 1 i. 3 3
1 3  5
4 6  8
7 9 11

如果我们转而想将左侧的每个标量加到右侧的每个向量上，我们将如下这么做：

   1 2 3 +"0 1 i. 3 3
1  2  3
5  6  7
9 10 11

如果右参数只有一个数，它被接受为所有三种情况下的秩。

如果右参数是个动词，就使用它的秩。例如，如下这些都派生相同的动词：

* +"0 0 0
* +"0 0
* +"0
* +"+

如果给秩连词的左参数是个名词，建立一个常量动词。这个动词的主体忽略任何参数的值，并总是生成这个名词的结果。

引用
  1. Slepak, Justin; Shivers, Olin; Manolios, Panagiotis. (PDF). [2020-05-19]. （原始内容存档 (PDF)于2020-01-10）.
  2. . Jsoftware. [2020-05-19]. （原始内容存档于2019-01-03）.
  3. . Free Software Foundation. [2020-05-19]. （原始内容存档于2020-01-09）.
  4. Bernecky, R. . . December 1987.
  5. Rabanser, Stephan; Shchur, Oleksandr; Günnemann, Stephan. . 2017-11-29. arXiv:1711.10781 [stat.ML].
  6. kgwgk; nabla9; azag0; tome; radarsat1. . Hacker News. Y Combinator. 2017-04-24 [2019-12-10]. （原始内容存档于2018-09-07）.
  7. . Jsoftware. [2020-05-19]. （原始内容存档于2019-01-03）.
  8. Burke, Chris. . Jsoftware. 2014-09-12 [2020-05-19]. （原始内容存档于2018-09-06）.

延伸阅读
  • Abrams, P.S. . (PDF). Stanford University (PhD). February 1970 [2020-05-19]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-05）.
  • Bernecky, R.; Iverson, K.E. . . 1980 APL Users Meeting. Jsoftware. 6–8 October 1980 [2020-05-19]. （原始内容存档于2016-03-16）.
  • Bernecky, R.; Iverson, K.E.; McDonnell, E.E.; Metzger, R.C.; Schueler, J.H. . Jsoftware. I.P. Sharp Associates Limited. 1983-05-02 [2020-05-19]. （原始内容存档于2019-02-13）.

外部链接
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