积测度

数学中，给出可测空间和其上的测度，可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。

设${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ 和${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ 是两个测度空间，就是说${\displaystyle \Sigma _{1}}$ 和${\displaystyle \Sigma _{2}}$ 分别是在${\displaystyle X_{1}}$ 和${\displaystyle X_{2}}$ 上的σ代数，又设${\displaystyle \mu _{1}}$ 和${\displaystyle \mu _{2}}$ 是其上的测度。以${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}}$ 记形如${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$ 的子集产生的笛卡儿积${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ 上的σ代数，其中${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$ 及${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}}$ 。

积测度${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ 定义为在可测空间${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\times \Sigma _{2})}$ 上唯一的测度，适合

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$

对所有

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}}$ 。

事实上对所有可测集E，

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E_{y})\,\mu _{2}(dy)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,\mu _{1}(dx)}$ ，

其中${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$ ，${\displaystyle E_{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$ ，两个都是可测集。

这测度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯尔莫哥洛夫定理.

欧几里得空间Rⁿ上的博雷尔测度可得自n个实数轴R上的博雷尔测度的积。

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