笛卡儿积

易见笛卡儿积满足下列性质：

• 对于任意集合${\displaystyle A}$，根据定义有${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }$
• 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
• 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$

${\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)}$

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$

${\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)}$

${\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}$

• 若一個集合${\displaystyle A}$包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積${\displaystyle A\times A}$有和${\displaystyle A}$一樣多的元素。

集合${\displaystyle X}$的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积${\displaystyle X\times X}$。一个例子是二维平面${\displaystyle R\times R}$，（这里${\displaystyle R}$是实数集） - 它包含所有的点${\displaystyle (x,y)}$，这里的${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在${\displaystyle n}$个集合${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$上的n-元笛卡儿积:

${\displaystyle X_{1}\times \ldots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}}$。

实际上，它可以被等同为${\displaystyle \left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}}$。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间${\displaystyle R\times R\times R}$，这里的${\displaystyle R}$同樣是指实数集。

对最常用的数学应用而言，上述定义通常已經足夠。但是，也可以在任意（可能无限）的集合的搜集上定义笛卡儿积。

如果${\displaystyle I}$是任何指标集合，而

${\displaystyle \{X_{i}\ |i\in I\}}$

是由${\displaystyle I}$索引的集合的搜集，则我们定义

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\}}$，

就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引${\displaystyle i}$上的值是${\displaystyle X_{i}}$的元素。

对在${\displaystyle I}$中每个${\displaystyle j}$，定义自

${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)\ }$

的函数

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}\ }$

叫做第${\displaystyle j}$投影映射。

n-元组可以被看作在${\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}$上的函数，它在${\displaystyle i}$上的值是这个元组的第${\displaystyle i}$个元素。所以，在${\displaystyle I}$是${\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}$的时候，这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义給出的是集合族。

在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然数集${\displaystyle \mathbb {N} ,}$的时候：这正是其中第i项对应于集合${\displaystyle X_{i}}$的所有无限序列的集合。再次，${\displaystyle \mathbb {R} }$提供了这样的一个例子：

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }$

是实数的无限序列的搜集，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子X_i都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。這樣，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。

在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。

“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理。

如果${\displaystyle f}$是从${\displaystyle A}$到${\displaystyle B}$的函数，而${\displaystyle g}$是从${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的函数，则它们的笛卡儿积${\displaystyle f\times g}$是从${\displaystyle A\times X}$到${\displaystyle B\times Y}$的函数，带有

${\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}$

跟之前類似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。

• 有序对
• 幂集公理
• 二元关系
• 笛卡儿
• 乘积拓扑
• 乘积 (范畴论)
• 拉回 (范畴论)

• Cartesian Product at ProvenMath
• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4