数列

数列（英語：）是由数字組成的序列，也即是全序排列的多个数。数列及其相关术语常用于有关递推规律的研究。数列也是级数理论的基本概念。

基本概念

数列是一列兩個以上按顺序排列的数，所組成的序列，记为 $⟨ a k ⟩$ 、 ${a k}$ 或 $(a k)$ ：

\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle

，

其中 $n \in Z +$ ， $Z +$ 是正整數集。

雖然 ${a k}$ 的記號很常見，但這與無序的集合符號相同[1]，容易引起混淆，因此這裡使用記號 $⟨ a k ⟩$ 。

数列中的每一个数称为这个数列的「项」。 $a 1$ 为数列的「第一项」、 $a 2$ 为「第二项」、 $a n$ 则为「第 $n$ 项」。项的总个数为数列的「项数」。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意，有些數列會設為 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}$ ，其中 $n \in N$ ， $N$ 是自然數集。換句話說，數列以第零項 $a 0$ 作為首項。

一些有無窮個項的數列，比如全體正整數數列 $⟨ 1, 2, 3, 4, 5, ... ⟩$ ，只有首項，沒有末項。按照伯特兰·罗素在《西方哲学史》书中的说法，人们也可以定义没有首项的无穷数列：把正整数数列倒过来排列即可。但是这种没有首项的数列，在数学上没有大的用处。[2]

数列是特殊的序列，全部由数字组成。序列则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量组成，等等。但有的微积分教材用序列一词来称呼数列，读者需要自己留意。

数列可被視作函数 $f : Z + \to Y$ ，

f(n)=a_{n}

，

其中 $Y$ 是包含數列中各個項的對應域。從這個角度看，数列能視作一种特殊的函數，稱為「整标函数」。[3]

數列中各個項的和稱為「级数」。但級數的概念的推廣至數列以外的序列，比如函數序列的函数项级。

分類

單調性

若對所有 $n \in Z +$ ， $a n +1 \geq a n$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「递增数列」。把 $\geq$ 換成 $>$ ，則稱為「嚴格遞增數列」。
若對所有 $n \in Z +$ ， $a n +1 \leq a n$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「递减数列」。把 $\leq$ 換成 $<$ ，則稱為「嚴格遞减數列」。
若對所有 $n \in Z +$ ， $a n +1 = a n$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「常数数列」。

有限性

若數列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}$ 的项数有限，則 $⟨ a k ⟩$ 为「有限数列」。
若數列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }$ 的项数无限，則 $⟨ a k ⟩$ 为「无穷数列」。

有界性

若對所有 $n \in Z +$ ， $M \leq a n \leq N$ ，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「有界数列」。 $M$ 稱為「下界」， $N$ 稱為「上界」。
若對數列 $⟨ a k ⟩$ ，上述的 $M$ 、 $N$ 不存在，则称数列 $⟨ a k ⟩$ 为「無界数列」。

極限與數列

一個關於數列很重要的性質是收斂，如果一個數列收斂，他收斂到的東西便是他的極限值，一個數列收斂，那它便是收斂數列，否則為發散數列。

簡單的說，一個數列 $\{x_{n}\}$ 有極限，便是他的數列中的元素逐漸地越來越靠近 $L$ (我們稱為極限值)，但是他們仍然任意得很靠近極限值 $L$ ，而不是真的等於。

舉例來說:當 $a_{n}={\frac {1}{n}}$ 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 $a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}$ 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，他的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

收斂正式定義

我們說一個實數的數列 $\{a_{n}\}$ 收斂到實數 $L$ ，如果有:對任意的 $\epsilon >0$ ，存在一個正整數 $N\in \mathbb {N}$ ，使得對所有的 $n\geq N$ ，有 $|a_{n}-L|<\epsilon$

重要的特殊数列

等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

例如数列

1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots

。

这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于

2,9999

与

9997

的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为

d

，但是

d

可为0。

若設首項

a_{1}=a

，則等差數列的通項公式為

a_{n}=a_{1}+(n-1)d

。

多阶等差数列：又称高阶等差数列，大陆地区则称之为“质数相关数列”。

把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。

由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。

普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列

2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots

。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，

2^{198}

与

2^{197}

的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为

r

。

若設首項

a_{1}=a

，則等比數列的通項公式為

a_{n}=ar^{n-1}

。

斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。

以數學符號表示，即

a_{1}=a_{2}=1

，且對於

n\geq 3

，

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}

。

斐波那契数列的通项公式為

a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]

。

正负相间： $(-1)^{n}$ 或 $(-1)^{n-1}$

隔项有零： ${\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]$ 或 ${\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]$

数列的求和

通常对第1项到第 $n$ 项求和，记为 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ 。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数 $n$ 的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通项公式的求解

通常，我们从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是递推关系式可能会有点复杂，难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以我们希望寻找方法，以求化简数列的递推关系式，从而得到简单明了的一般项公式。一般项公式也叫通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。遗憾的是，没有一种方法是万能的，所以通项公式的求解仍然是一个具有一定技巧性的工作。完全求不出通项公式、只能进行估算的情形也是经常出现的。

数学归纳法

求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，此法则无法使用。

逐差全加

给定数列差 $d_{n}$ 时逐差全加，例如：

a_{1}=1

，

d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n

,求

a_{n}

a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1

逐商全乘

给定数列比 $r_{n}$ 时逐差全乘，例如：

a_{1}=1

，

r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}

，求

a_{n}

a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n

从和式求通项

如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}$ 可知 $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$

把 $S_{n}$ 看成一个数列，可以先对 $S_{n}$ 进行求解，然后得出 $a_{n}$ 。

换元法

换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法

对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知 $Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$ ，其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都是常数，求 $a_{n}$ 。
求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

如果 $A\neq -B$ ，那么这个式子就一定可以化成下面的形式：

$A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)$ 。
求出 $k$ ，那么数列 ${a_{n}+k}$ 就是一个等比数列，从而求出通项公式。

如果 $A=-B$ ，那么这个递推关系是不可能化成等比数列的。实际上，若 $A=-B$ ，那么它就是等差数列了。还要注意的一种特殊情况就是 $A=B$ 的时候，这实际上就是一个等和数列，从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
除此之外也可以这样将之化成等比数列：

$Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$
$Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0$
两边相减就有： $A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0$ ，如此就化成了一个等比数列。

已知 $Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0$ ,其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都为常数，求 $a_{n}$ ；
与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：
$Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D$
求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列 ${Aa_{n}+Ea_{n-1}}$ 的通项公式，然后求出 $a_{n}$ 的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法

其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

在其他數學領域的使用

参见

整数数列线上大全 (OEIS)

参考资料

Stover, Christopher and Weisstein, Eric W. "Set." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Set.html 页面存档备份，存于
伯特兰·罗素。《西方哲学史》。北京出版社。2007年10月。
谭杰锋，郑爱武。《高等数学》。清华大学出版社、北京交通大學出版社。2007年7月。ISBN 978-7-8108-2647-1。

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Stover, Christopher and Weisstein, Eric W. "Set." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Set.html 页面存档备份，存于

[2] 伯特兰·罗素。《西方哲学史》。北京出版社。2007年10月。

[3] 谭杰锋，郑爱武。《高等数学》。清华大学出版社、北京交通大學出版社。2007年7月。ISBN 978-7-8108-2647-1。