数列
基本概念
数列是一列兩個以上按顺序排列的数,所組成的序列,记为 ⟨ak⟩ 、 {ak} 或 (ak):
- ,
其中 n ∈ Z+ , Z+ 是正整數集。
雖然 {ak} 的記號很常見,但這與無序的集合符號相同[1],容易引起混淆,因此這裡使用記號 ⟨ak⟩ 。
数列中的每一个数称为这个数列的「项」。a1 为数列的「第一项」、a2 为「第二项」、 an 则为「第 n 项」。项的总个数为数列的「项数」。數列中的第一项常稱為「首項」,最后一项則称为「末项」。注意,有些數列會設為 ,其中 n ∈ N , N 是自然數集。換句話說,數列以第零項 a0 作為首項。
一些有無窮個項的數列,比如全體正整數數列 ⟨ 1, 2, 3, 4, 5, ... ⟩ ,只有首項,沒有末項。按照伯特兰·罗素在《西方哲学史》书中的说法,人们也可以定义没有首项的无穷数列:把正整数数列倒过来排列即可。但是这种没有首项的数列,在数学上没有大的用处。[2]
数列是特殊的序列,全部由数字组成。序列则范围更广,可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列矢量、一系列矩阵或一系列张量组成,等等。但有的微积分教材用序列一词来称呼数列,读者需要自己留意。
数列可被視作函数 f : Z+ → Y,
- ,
分類
單調性
- 若對所有 n ∈ Z+ ,an+1 ≥ an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「递增数列」。把 ≥ 換成 > ,則稱為「嚴格遞增數列」。
- 若對所有 n ∈ Z+ ,an+1 ≤ an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「递减数列」。把 ≤ 換成 < ,則稱為「嚴格遞减數列」。
- 若對所有 n ∈ Z+ ,an+1 = an ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「常数数列」。
有限性
- 若數列 的项数有限,則 ⟨ak⟩ 为「有限数列」。
- 若數列 的项数无限,則 ⟨ak⟩ 为「无穷数列」。
有界性
- 若對所有 n ∈ Z+ ,M ≤ an ≤ N ,则称数列 ⟨ak⟩ 为「有界数列」。 M 稱為「下界」, N 稱為「上界」。
- 若對數列 ⟨ak⟩ ,上述的 M 、 N 不存在,则称数列 ⟨ak⟩ 为「無界数列」。
極限與數列
一個關於數列很重要的性質是收斂,如果一個數列收斂,他收斂到的東西便是他的極限值,一個數列收斂,那它便是收斂數列,否則為發散數列。
簡單的說,一個數列有極限,便是他的數列中的元素逐漸地越來越靠近(我們稱為極限值),但是他們仍然任意得很靠近極限值,而不是真的等於。
舉例來說:當 時,隨著n的數字增加,可以看到它逐漸趨向於0。當 時,隨著n的數字增加,可以看到它逐漸趨向於2。
此外,值得注意的是,當一個數列有極限值時,他的極限值一定是唯一的。一般來說,當數列收斂,我們會記
收斂正式定義
我們說一個實數的數列收斂到實數,如果有:對任意的 ,存在一個正整數,使得對所有的,有
重要的特殊数列
- 等差数列:是一种特殊数列。数列中,从第二项起,每一项与前一项的差相等。
- 例如数列。
- 这就是一个等差数列,因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等,都等于与的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差,符号为,但是可为0。
- 若設首項,則等差數列的通項公式為。
- 多阶等差数列:又称高阶等差数列,大陆地区则称之为“质数相关数列”。
- 把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,如果这个新的数列是普通等差数列,原数列就称为二阶等差数列。
- 由此类推,把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列,再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列,如此进行下去,直到最后的数列如果是普通等差数列,那么原数列就是多阶等差数列。
- 普通等差数列可以视为一阶等差数列,因而常数数列实际就是零阶等差数列。
- 等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第2项起,每一项与前一项的比都是一个常数。
- 例如数列。
- 这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,与的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比,符号为。
- 若設首項,則等比數列的通項公式為。
- 斐波那契数列:是一种特殊数列。它的特点是:首兩項均是1,从第3项起,每一项均為前兩項的和。
- 以數學符號表示,即,且對於,。
- 斐波那契数列的通项公式為。
- 正负相间:或
- 隔项有零:或
数列的求和
通常对第1项到第项求和,记为。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。
一个特殊数列求和:奇数数列。1,3,5,7,9,...。其和为项数的平方。例如:1+3=22,1+3+5=32。
通项公式的求解
通常,我们从实际问题中会先得到一个递推关系式,但是递推关系式可能会有点复杂,难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以我们希望寻找方法,以求化简数列的递推关系式,从而得到简单明了的一般项公式。一般项公式也叫通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。遗憾的是,没有一种方法是万能的,所以通项公式的求解仍然是一个具有一定技巧性的工作。完全求不出通项公式、只能进行估算的情形也是经常出现的。
逐差全加
给定数列差时逐差全加,例如:
- ,,求
逐商全乘
给定数列比时逐差全乘,例如:
- ,,求
从和式求通项
如果已知数列和的公式,那么通项的求解非常容易。由可知
把看成一个数列,可以先对进行求解,然后得出。
不动点法
对于形如齐次分式的递推关系,可利用不动点来推导。
已知,其中、、都是常数,求。
求这类数列的通项公式,一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。
- 如果,那么这个式子就一定可以化成下面的形式:
。
求出,那么数列就是一个等比数列,从而求出通项公式。
- 如果,那么这个递推关系是不可能化成等比数列的。实际上,若,那么它就是等差数列了。还要注意的一种特殊情况就是的时候,这实际上就是一个等和数列,从这个问题我们可以看到,等和数列也可以化成一个等比数列。
- 除此之外也可以这样将之化成等比数列:
两边相减就有:,如此就化成了一个等比数列。
已知,其中、、、都为常数,求;
与上述数列一样,它们一定可以化成下面的形式:
求出对应系数,于是就转化成了前面那种形式,然后就可以求出数列的通项公式,然后求出的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。
在其他數學領域的使用
参见
- 整数数列线上大全 (OEIS)
参考资料
- Stover, Christopher and Weisstein, Eric W. "Set." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Set.html 页面存档备份,存于
- 伯特兰·罗素。《西方哲学史》。北京出版社。2007年10月。
- 谭杰锋,郑爱武。《高等数学》。清华大学出版社、北京交通大學出版社。2007年7月。ISBN 978-7-8108-2647-1。