简单函数

嚴格的講，一个简单函数是可测集合的指示函数的有限线性组合。更加精确地，设(X, Σ)为可测空间。设A₁，……，A_n ∈ Σ 皆为可测集合，并设a₁，……，a_n 皆为实数或复数。简单函数是以下形式的函数：

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x).}$

其中 ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$ 代表集合 A 的指示函數。

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中，以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ 都會是單調遞增的非負簡單函數序列的逐點極限。事实上，设 ${\displaystyle f}$ 为定义在测度空间 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}$ 上的非负可测函数。对于每一个 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，我们把 ${\displaystyle f}$ 的對應域分成 ${\displaystyle 2^{2n}+1}$個區間，其中 ${\displaystyle 2^{2n}}$ 個區間长度为 ${\displaystyle 2^{-n}}$（除了 ${\displaystyle I_{n,2^{2n}}}$ 以外，其他區間長度都為 ${\displaystyle 2^{-n}}$） 。讓

${\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k}{2^{n}}},{\frac {k+1}{2^{n}}}\right),\;k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1,\;\;}$ 以及${\displaystyle \;\;\;I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty ].}$

定义可测集合

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}$，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}$。

則我們定義简单函数 ${\displaystyle s_{n}}$ 如下

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}$

如果對每個 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 都構造如此的函數 ${\displaystyle s_{n}}$，則我們得到一組單調遞增的簡單函數序列 ${\displaystyle \{s_{n}\}}$，

当 ${\displaystyle n\to \infty }$ 时，這序列會逐点收敛至 ${\displaystyle f}$。

注意如果 ${\displaystyle f}$ 是有界的，则序列是一致收敛。

這種用簡單函數逼近非負函數 ${\displaystyle f}$ 的方法，可以用來定義 ${\displaystyle f}$ 的勒貝格積分，因為相對來講，簡單函數的積分很好計算。詳情請參閱勒貝格積分。

如果一个测度 μ 定义在空间(X,Σ)上，則簡單函數 ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)}$ 關於 μ 的勒贝格积分是：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),}$

如果所有的加数都是有限的。

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.