算术-几何平均数
这两个数列收敛于相同的数,这个数称为x和y的算术-几何平均数,记为M(x, y),或agm(x, y)。
两个正实数x和y的算术-几何平均数定义如下:
首先计算x的y算术平均数,称其为a1。然后计算x的y几何平均数,称其为g1;这是xy的算术平方根。
然后重复这个步骤,这样便得到了两个数列(an)和(gn):
例子
欲计算a0 = 24和g0 = 6的算术-几何平均数,首先算出它们的算术平均数和几何平均数:
然后进行迭代:
- etc.
继续计算,可得出以下的值:
n an gn 0 24 6 1 15 12 2 13.5 13.416407864999... 3 13.458203932499... 13.458139030991... 4 13.458171481745... 13.458171481706...
24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限,大约为13.45817148173。
性质
M(x, y)是一个介于x和y的算术平均数和几何平均数之间的数。
如果r > 0,则M(rx, ry) = r M(x, y)。
M(x,y)还可以写为如下形式:
其中K(x)是第一类完全椭圆积分。
存在性的证明
由算术几何不等式可得
因此
这意味着 是不降序列。同时,因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间,又可以得到该序列是有上界的( 中的较大者)。根据单调收敛定理,存在 使得:
然而,我们又有:
从而:
证毕。
参考文献
引用
来源
- Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658
- 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
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