線性泛函
在線性代數中,線性泛函(英語:)是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 ℝn中,向量空間的向量以行向量表示;線性泛函則會以列向量表示,在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地,如果 是域 上的向量空間,線性泛函 是一个从 到 的函数,它有以下的线性特性:
所有從 到 的線性泛函集合, 記為 , 本身即為一向量空間,稱為 的對偶空間(或稱為的代数对偶空间,以和连续对偶空间区分)。
连续线性泛函
若V是一拓撲向量空間,所有连续線性泛函的集稱為连续对偶,有時也簡稱為對偶空間。若是巴拿赫空間,其對偶空間也是。为了把普通的对偶空间与连续对偶空间區別,有时把前一个称为代数对偶。在有限维空间中,每一个线性泛函都是连续的,因此连续对偶与代数对偶相同;但在无限维空间的情况下,连续对偶是代数对偶的真子空间。
例子和應用
積分
线性泛函首先出现在泛函分析——函数的向量空间的研究中。线性泛函的一个典型的例子是积分:由黎曼積分所定义的线性变换
是由(在上定義的連續函數)的向量空間映射到線性泛函。I(ƒ)的线性可以从积分的基本事实推出:
計值泛函
以 表示定義在區間 上的不超过 次的實值多項式。 若,則設計值泛函(英語:):
映射ƒ → ƒ(c)是线性的,因为:
在数值积分的应用
以上定义的积分泛函I定义了次数不超过n的多项式的子空间Pn上的线性泛函。如果x0,……,xn是[a,b]内n+1个不同的点,那么存在系数a0,……,an,使得对于所有的ƒ Pn,都有:
这形成了数值积分理论的基础。
这可以从以上定义的线性泛函Pn的对偶空间的基的事实推出(Lax 1996)。
統計學上的分佈
在廣義函數的理論,分佈可以視為測試函數空間的線性泛函。
性质
- 任何线性泛函要么是平凡的(处处为0),要么是到标量域的满射。这是由于向量子空间在线性变换下的像是一个子空间,因此是V在L下的像。但k唯一的子空间(也就是说,k-子空间)是{0}和k本身。
- 一个线性泛函是连续的,当且仅当它的核是封闭的(Rudin 1991,Theorem 1.18)。
- 具有相同核的线性泛函是成正比的。
- 线性泛函是(0 1)类型的张量。它是非标量协变张量的最简单的一种。
对偶向量和双线性形式
从有限维空间内的每一个非退化的双线性形式,都可以得到一个从V到V*的同构。特别地,把V内的双线性形式记为⟨ , ⟩ (例如在欧几里得空间中,⟨v,w⟩ = v·w是v和w的数量积),那么存在一个自然同构,由下式给出:
逆同构由给出,其中ƒ*是V的唯一元素,使得对于所有的w ∈ V,都有:
以上定义的向量v* ∈ V*称为v ∈ V的对偶向量。
根据里斯表示定理,在无穷维希尔伯特空间中,类似的结果也成立。存在一个从V → V*到连续对偶空间 V*的映射。然而,这个映射不是线性的,而是反线性的。
形象化
在有限维空间内,一個線性泛函可以用其水平集來表示。例如在三維空間,一個線性泛函的水平集是互相平行的平面的族。在高維空間,它們就是平行的超平面。這種觀點可以在一些廣義相對論的文獻找到,如Misner,Thorne & Wheeler (1973)。
有限維向量空間
參考
- Bishop, Richard; Goldberg, Samuel, , , Dover Publications, 1980, ISBN 0-486-64039-6
- Halmos, Paul, , Springer, 1974, ISBN 0387900934
- Lax, Peter, , Wiley-Interscience, 1996, ISBN 978-0471111115
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A., , W. H. Freeman, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
- Schutz, Bernard, , , Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-27703-5