里斯表示定理

这个定理建立了希尔伯特空间与它的连续对偶空间的一个重要联系：如果底域是实数，两者是等距同构；如果域是复数，两者是等距反同构。如下所述，（反）同构是特别自然的。

设 ${\displaystyle H}$ 是一个希尔伯特空间，令 ${\displaystyle H^{*}}$ 表示它的对偶空间，由从 ${\displaystyle H}$ 到域 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的所有连续线性泛函。如果 ${\displaystyle x}$ 是 ${\displaystyle H}$ 中一个元素，则函数 ${\displaystyle \phi _{x}}$ 定义为

${\displaystyle \phi _{x}(y)=\left\langle y,x\right\rangle \quad \forall y\in H,\,}$

是 ${\displaystyle H^{*}}$ 的一个元素，这里 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ 表示希尔伯特空间的内积。里斯表示定理断言 ${\displaystyle H^{*}}$ 中任何元素都能惟一地写成这种形式。

定理：映射

${\displaystyle \Phi :H\rightarrow H^{*},\quad \Phi (x)=\phi _{x}}$

是一个等距（反）同构，这就是说：

• ${\displaystyle \Phi }$ 是双射。
• ${\displaystyle x}$ 的范数与 ${\displaystyle \Phi (x)}$ 的范数相等：${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \Phi (x)\Vert }$。
• ${\displaystyle \Phi }$ 可加：${\displaystyle \Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2})}$。
• 如果底域是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$，则 ${\displaystyle \Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x)}$ 对所有实数 ${\displaystyle \lambda }$。
• 如果底域是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$，则 ${\displaystyle \Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x)}$ 对所有复数 ${\displaystyle \lambda }$，这里 ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ 表示 ${\displaystyle \lambda }$ 的复共轭。

${\displaystyle \Phi }$ 的逆映射可以描述为： 给定 ${\displaystyle H^{*}}$ 中一个元素 ${\displaystyle \phi }$，核 ${\displaystyle \phi }$ 的正交补是 ${\displaystyle H}$ 的一维子空间。取那个子空间中一个非零元素 ${\displaystyle z}$，令 ${\displaystyle x=\phi (z)\cdot z/{\left\Vert z\right\Vert }^{2}}$。则 Φ(x) = φ。

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇在1907年发现（见参考文献）。格雷（）在评论从他认为是原型的里斯（1909）一文到里斯表示定理的发展时说：“给定运算 ${\displaystyle A[f]}$，可以构造有界变差函数 ${\displaystyle \alpha (x)}$，使得无论连续函数${\displaystyle f(x)}$ 是什么，都有 ${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}$.”

在量子力学的数学处理中，这个定理可以视为流行的狄拉克符号记法的根据。当定理成立时，每个右括号 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 有一个相应的左括号 ${\displaystyle \langle \psi |}$，对应是清楚的。但是存在拓扑向量空间，比如核空间（英語：），里斯表示定理不成立，在这样的情形狄拉克符号变得不合适。

下面的定理表示出 C_c(X) 上的正线性泛函，紧支集连续复值函数空间。下面所说的波莱尔集表示由开集生成的 σ-代数。

局部紧豪斯多夫空间 X 上一个非负可数可加波莱尔测度 μ 是正规的当且仅当

• μ(K) < ∞ 对所有紧集 K；
• 对每个波莱尔集 E，

${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U\,}$ 开 }.

• 关系

${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K\,}$ 闭 }.

成立只要 E 是开集和 E 是波莱尔集且 μ(E) < ∞。

定理：设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C_c(X) 上任何正线性泛函 ψ，在 X 上存在惟一的波莱尔正则测度 μ 使得

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\quad }$

对所有 f ∈ C_c(X)。

进入测度论的一个途径是从拉东测度开始，定义为 C(X) 上一个正线性泛函。这种方式由布尔巴基采取；这里显然假设 X 首先是一个拓扑空间，而不仅是一个集合。对局部紧空间，重新得到了一个积分理论。

下面定理也称为里斯-马尔可夫定理，给出了 C₀(X) 的对偶空间的一个具体实现，X 上在无穷远趋于零的连续函数。定理陈述中的波莱尔集合同样指由开集生成的 σ-代数。结论与上一节类似，但不能包含在前一个结果之中。参见下面的技术性注释。

如果 μ 是一个复值可数可加波莱尔测度，μ 是正则的当且仅当非负可数可加测度 |μ| 正则（上一节所定义的）。

定理：设 X 是一个局部紧豪斯多夫空间。对 C₀ 上任何连续线性泛函 ψ，存在 X 上惟一正则可数可加波莱尔测度 μ 使得

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\quad }$

对所有 f∈ C₀(X)。ψ 的范数作为线性泛函是 μ 的全变差（英語：），即

${\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X).}$

最后，ψ 是正的当且仅当测度 μ 是非负的。

注：C_c(X) 上任何有界线性泛函惟一延拓为 C₀(X) 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 C_c(X) 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C₀(X) 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• PlanetMath上Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces的資料。