行向量與列向量

为了简化编写矢量，有时他们写为向量的转操作应用到它们。

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$

或

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$

一些作者也使用该《公约》编写两栏载和向量的行为，但是分离的向量元素用 逗号 ，并矢量元素与 分号 (见的替代符号2在下表)。

	向量	向量
標準矩陣表示法	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ 或 }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
Alternative notation 1 (commas, transpose signs)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
Alternative notation 2 (commas and semicolons, no transpose sign	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}}$

矩阵乘法 涉及乘以每个行矢量的一个矩阵的每个列矢量的另一个矩阵。

本 点積 的两个矢量 a 和 b 为相当于基质的产品的行向量的代表 一 并列矢量表示的 b,

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\ }$

这也是等同的矩阵产品的行向量的代表 b 和列的矢量表示 一下，

${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\ }$

该矩阵列和一个行向量给出了並矢張量的两个矢量 a 和 b,一个例子更加大张量积上。 矩阵产品的列的矢量表示的 一个 并行向量的代表 b 给该组成部分他们的二进产品，

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\ }$

这是 不 等同的矩阵产品的列的矢量表示的 b 和行向量表示的 a,

${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\ }$

在这种情况下的两个矩阵是不同的：他们被调换。

经常行矢量本身是对于操作的内 n-空格表示 n × n 矩阵 M

${\displaystyle vM=p\ }$

然后 p 也是一个行向量和可能存在到另一个 n × n 矩阵 Q,

${\displaystyle pQ=t\ }$

有時，可以写 t = p Q = v MQ 告诉我们的 矩阵产品 转变 MQ 可以采取 v 直接 t 继续执行向量，矩阵变换进一步的重新配置 n-空间可以适用于该权利的先前的产出。

相反，当一列矢量转换成为另一个列下 n × n 矩阵的行动，操作时发生的左边，

${\displaystyle p=Mv\,,\quad t=Qp}$

导致代数表达式 的质量管理v 对组输出从 v 输入。 矩阵变换山的左在此利用一个的列矢量输入矩阵变换。 自然偏读左到右，作为后续转换应用在线性代数，反对列矢量的投入。

尽管如此，使用的 转 运之间的这些差异的投入的一个行或列自然解决的一个 antihomomorphism 群体之间产生的两个方面。 该技术结构使用 双空间 相关的一矢量的空间来开发的 转的直线地图

例如，在那里这个行向量输入《公约》已经使用到好的效果看到Raiz Usmani的，[2] 在那里页106该公约允许的声明 「产品映 "ST "的 "U" 入 "W"[被给予]：

${\displaystyle \alpha (ST)=(\alpha S)T=\beta T=\gamma }$中。 」

(希腊字母代表行向量)。

卢德维克·斯坦使用的行向量的时空的事件；他施加洛伦兹转换矩阵的权利在他的相对论 在1914年(见第143页)中。

在1963年时 McGraw-Hill 公布的 差别几何 由 Heinrich Guggenheimer 的 明尼苏达大学，他使用的行向量《公约》第5章，"导言转化群体"(均衡。 7a，9b和12至15条)。当H.S.M.考克斯特的审查 直线的几何学 的 Rafael Artzy，他写道， 「 [Artzy]是要祝贺他选择的左到右《公约》，这使他方面一点作为行矩阵，而不是笨拙的柱，许多作者。 」 J.W.P.Hirschfeld使用正确的乘法的行向量的矩阵中他描述的projectivities在 伽罗瓦的几何形状 PG(1，q)。

• 线性代数

• 协变和逆变

• Axler, Sheldon Jay, 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C., 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D., , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001, ISBN 978-0-89871-454-8, （原始内容存档于2001年3月1日）
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