矩陣乘法

左邊的圖表示出要如何計算${\displaystyle AB}$的${\displaystyle (1,2)}$和${\displaystyle (3,3)}$元素，當${\displaystyle A}$是個${\displaystyle 4\times 2}$矩陣和B是個${\displaystyle 2\times 3}$矩陣時。分別來自兩個矩陣的元素都依箭頭方向而兩兩配對，把每一對中的兩個元素相乘，再把這些乘積加總起來，最後得到的值即為箭頭相交位置的值。

${\displaystyle (AB)_{1,2}=\sum _{r=1}^{2}a_{1,r}b_{r,2}=a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}}$

${\displaystyle (AB)_{3,3}=\sum _{r=1}^{2}a_{3,r}b_{r,3}=a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}}$

這種矩陣乘積亦可由稍微不同的觀點來思考：把向量和各係數相乘後相加起來。設${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$是兩個給定如下的矩陣：

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots \\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots \\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$

則

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots \end{bmatrix}}+a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{2,1}&b_{2,2}&\dots \end{bmatrix}}+\cdots \\\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots \end{bmatrix}}+a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{2,1}&b_{2,2}&\dots \end{bmatrix}}+\cdots \\\vdots \end{bmatrix}}}$

舉個例子來說：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+0{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+2{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\-1{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+3{\begin{bmatrix}2&1\end{bmatrix}}+1{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}-3&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}6&3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\end{bmatrix}}}$

左面矩陣的列為為係數表，右邊矩陣為向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此將1乘上第一個向量，0乘上第二個向量，2則乘上第三個向量。

一般矩陣乘積也可以想為是行向量和列向量的內積。若${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$為給定如下的矩陣：

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\dots \\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\dots \\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}}$且${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&b_{1,3}&\dots \\b_{2,1}&b_{2,2}&b_{2,3}&\dots \\b_{3,1}&b_{3,2}&b_{3,3}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}B_{1}&B_{2}&B_{3}&\dots \end{bmatrix}}}$

其中

${\displaystyle A_{1}}$是由所有${\displaystyle a_{1,x}}$元素所組成的向量，${\displaystyle A_{2}}$是由所有${\displaystyle a_{2,x}}$元素所組成的向量，以此類推。

${\displaystyle B_{1}}$是由所有${\displaystyle b_{x,1}}$元素所組成的向量，${\displaystyle B_{2}}$是由所有${\displaystyle b_{x,2}}$元素所組成的向量，以此類推。

則

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\\vdots \end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}B_{1}&B_{2}&B_{3}&\dots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A_{1}\cdot B_{1})&(A_{1}\cdot B_{2})&(A_{1}\cdot B_{3})&\dots \\(A_{2}\cdot B_{1})&(A_{2}\cdot B_{2})&(A_{2}\cdot B_{3})&\dots \\(A_{3}\cdot B_{1})&(A_{3}\cdot B_{2})&(A_{3}\cdot B_{3})&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$

矩陣乘法是不可交換的（即${\displaystyle AB\neq BA}$），除了一些較特別的情況。很清楚可以知道，不可能預期說在改變向量的部份後還能得到相同的結果，而且第一個矩陣的列數必須要和第二個矩陣的行數相同，也可以看出為什麼矩陣相乘的順序會影響其結果。

雖然矩陣乘法是不可交換的，但${\displaystyle AB}$和${\displaystyle BA}$的行列式總會是一樣的（當${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$是同樣大小的方陣時）。其解釋在行列式條目內。

當${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$可以被解釋為線性算子，其矩陣乘積${\displaystyle AB}$會對應為兩個線性算子的複合函數，其中B先作用。

1. 先輸入要相乘的兩個矩陣，大小分別為${\displaystyle m\times n}$和${\displaystyle n\times p}$（注意：矩陣1的row數必須等於矩陣2的column數，矩陣乘法才有定義）；
2. 用滑鼠選取大小為${\displaystyle m\times p}$的空白格矩陣；
3. 選取「MMULT函數」；
4. 在函數引數視窗的array 1選取第一個矩陣，array 2選取第二個矩陣；
5. 不要按「確定」，而是按Ctrl+⇧ Shift+↵ Enter這三個鍵的組合來關閉函數引數視窗。

以上步驟可參見MMULT函數引數視窗裡的「函數說明」。