达布定理

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻畫出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数：

${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ 当${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle h(0)=0}$ 当${\displaystyle x=0}$

其导数在0处并不连续。

达布定理等价于：设 f : [a,b] → R 为一个 [a,b] 上的实值可导函数，并在[a,b] 上可导，那么 ${\displaystyle f\,'}$ 满足：对任意介于${\displaystyle f\,'(a)}$ 和 ${\displaystyle f\,'(b)}$之间的 t ，存在 x 属于 (a,b) 使得 ${\displaystyle f\,'(x)=t}$。

不失一般性，我们可假设${\displaystyle f\,'_{+}(a)>t>f\,'_{-}(b)}$。又设g(x) := f(x) - tx，则 ${\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}$。只需找到 ${\displaystyle g'}$在 [a,b] 上的一个零点即可。

由于 g 是[a,b] 上的连续函数，由極值定理， g 在[a,b] 上达到极大值。由于${\displaystyle g'_{+}(a)>0}$，极大值不在 a 处取到。同理，由于${\displaystyle g'_{-}(b)<0}$，极大值也不在 b 处取到。设 x 为取到极大值的点，这时，${\displaystyle g\,'(x)=0}$。于是定理得证。

• 让·加斯东·达布
• 介值定理

• 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
• 潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

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