連心力

假設一個粒子，感受到連心力${\displaystyle \mathbf {F} }$的作用，則施加於此粒子的力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$為零：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F{\hat {\mathbf {r} }}=0}$。

角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$對於時間${\displaystyle t}$的導數是力矩：

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\boldsymbol {\tau }}}$。

所以，角動量守恆，是個常數。

關於此粒子的運動，

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} ))=0}$。

此粒子的位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$垂直於恆定的角動量${\displaystyle \mathbf {L} }$，所以，此粒子的運動必局限於垂直於角動量的平面。

採用極坐標系${\displaystyle (r,\theta )}$來表示此粒子的平面運動，原點為力中心點。則角動量為

${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}}$；

這裏，${\displaystyle m}$是粒子的質量、${\displaystyle {\dot {\theta }}}$是角速度。

粒子與力中心點的連線，掃過的平面的平面速度${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}}$為

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {L}{2m}}}$。

所以，受連心力作用的粒子與力中心點的連線，掃過的平面，速度恆定。

假若連心力${\displaystyle \mathbf {F} }$是一個函數${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$的負梯度：

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V(\mathbf {r} )}$，

則連心力是保守力：

• 連心力的旋度是0：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =-\nabla \times \nabla V=0}$，

• 對於任何簡單的閉合迴路，連心力所做的機械功${\displaystyle W}$是0：

${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =0}$。

此函數${\displaystyle V}$是一個純量勢，注意到由於${\displaystyle \mathbf {F} =F{\hat {\mathbf {r} }}}$，純量勢${\displaystyle V}$只能跟${\displaystyle r}$有關：

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {\partial V}{\partial r}}\ {\hat {\mathbf {r} }}}$。

稱${\displaystyle V(r)}$為連心勢。連心力也只能跟${\displaystyle r}$有關：

${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$。

這連心力是強版連心力。

一个運動於勢能${\displaystyle V(r)}$的粒子的拉格朗日量等於動能减去勢能：

${\displaystyle {\mathcal {L}}(r,\theta )={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-V(r)}$。

其拉格朗日方程式為

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}-F(r)=0}$、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0}$；

其中，${\displaystyle F(r)=-\ {\frac {\partial V(r)}{\partial r}}}$為連心力。

由於連心勢與角坐標${\displaystyle \theta }$無關，因此其共軛動量（角動量）是個運動常數：

${\displaystyle P_{\theta }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}=mr^{2}{\dot {\theta }}}$。

為了善用此運動常數，應用勒让德变换轉到相空間得到哈密顿量和運動方程式：

${\displaystyle {\dot {p}}_{r}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left[{\frac {P_{\theta }^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)\right]}$。

因此，可得到粒子的徑向運動等同於一個在以下有效勢能中的一維運動：

${\displaystyle V_{\rm {Eff}}(r)={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}+V(r)}$。

星体在${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}$萬有引力下運動的有效勢能是：

${\displaystyle V_{\rm {Eff}}(r)={\frac {P_{\theta }^{2}}{2m}}{\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {K}{r}}}$。

因此可以看到，有效勢能所造成的作用力，在短距离因為角動量守恆項目而排斥，在遠距离因為萬有引力項目而吸引。两者平衡點－即有效勢能最低點－正是圓形軌道半徑。

有心力的运动轨道可以用比内（）公式来计算。在平面极坐标系中，如果令：

${\displaystyle u={\frac {1}{r}},h={\frac {L_{0}}{m}}}$

其中${\displaystyle L_{0}}$为物体做有心运动时的角动量，则有：

${\displaystyle -mh^{2}u^{2}({\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u)=F(u)}$

解这个微分方程[2]可以得到运动轨迹的半径与角度的关系[3]：

${\displaystyle r={\frac {1}{u(\theta )}}=r(\theta )}$

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